Назовём тройку чисел триплетом, если одно из них равно среднему арифметическому двух других. Дана бесконечная последовательность $(a_n)$, состоящая из натуральных чисел. Известно, что $a_1=a_2=1$ и при $n\gt 2$ число $a_n$ — минимальное натуральное число такое, что среди чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ нет трёх, образующих триплет. Докажите, что $a_n\leqslant \dfrac{n^2+7}{8}$ для любого $n$.
Ответ:
Решение:
Вычислите значение выражения \[ \left(1+\dfrac{1}{14^2-1}\right)\cdot\left(1+\dfrac{1}{15^2-1}\right)\cdot\left(1+\dfrac{1}{16^2-1}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1+\dfrac{1}{300^2-1}\right) \] (ответ округлите до тысячных).
Ответ:
Решение:
Представьте в виде несократимой дроби: \[ \frac{12+15}{18}+\frac{21+24}{27}+\ldots+\frac{48+51}{54}. \]
Ответ:
Решение:
Найдите натуральное число $n$, для которого выполняется равенство \[ \dfrac{4^3-1}{4^3+1}\cdot\dfrac{5^3-1}{5^3+1}\cdot\ldots\cdot\dfrac{n^3-1}{n^3+1}=\dfrac{2439}{2639}. \]
Ответ:
Решение:
Какое из чисел больше: \[ A=\frac{3}{(1\cdot2)^2}+\frac{5}{(2\cdot3)^2}+\ldots+\frac{87}{(43\cdot44)^2}+\frac{89}{(44\cdot45)^2}\quad\text{или}\quad B=\frac{\sqrt[6]{4-2\sqrt3}\cdot\sqrt[3]{\sqrt3+1}}{\sqrt[3]{2}}\ ?\]
Ответ:
Решение:
Для функции $f(x)=-\frac{x^2}{1+x^2}$ найдите сумму \[ f\left(\dfrac{1}{2018}\right)+f\left(\dfrac{1}{2017}\right)+\ldots+f\left(\dfrac12\right)+f(1)+f(2)+\ldots+f(2017)+f(2018). \]
Ответ:
Решение:
Последовательность $a_n$ задана следующим образом: \[ a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n+\frac{2a_n}{n}\quad(\text{при } n\geqslant1). \] Найдите $a_{100}$.
Ответ:
Решение:
Последовательность $a_n$ задана следующим образом: \[ a_1=2,\quad a_{n+1}=a_n+\dfrac{2a_n}{n}\quad (\text{при } n\geqslant 1). \] Найдите $a_{100}$.
Ответ:
Решение:
Последовательность $a_n$ задана следующим образом: \[ a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n+\dfrac{2a_n}{n}\quad (\text{при } n\geqslant 1). \] Найдите $a_{200}$.
Ответ:
Решение:
Последовательность $a_n$ задана следующим образом: \[ a_1=2,\quad a_{n+1}=a_n+\dfrac{2a_n}{n}\quad (\text{при } n\geqslant 1). \] Найдите $a_{200}$.
Ответ:
Решение:
Последовательность $a_n$ задана следующим образом: \[ a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n+\dfrac{2a_n}{n}\quad (\text{при } n\geqslant 1). \] Найдите $a_{999}$.
Ответ:
Решение:
Последовательность $a_n$ задана следующим образом: \[ a_1=2,\quad a_{n+1}=a_n+\dfrac{2a_n}{n}\quad (\text{при } n\geqslant 1). \] Найдите $a_{999}$.
Ответ:
Решение:
Пусть $f(x)=x^2+3x+2$. Вычислите \[ \left(1-\dfrac{2}{f(1)}\right)\left(1-\dfrac{2}{f(2)}\right)\left(1-\dfrac{2}{f(3)}\right)\ldots\left(1-\dfrac{2}{f(2019)}\right). \]
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее натуральное число $n$, для которого верно неравенство \[ \left(1^3+2^3+\ldots+n^3\right)-106(1+2+\ldots+n)+105\leqslant0. \]
Ответ:
Решение:
Пусть $f(n)$ — целое число, ближайшее к числу $\sqrt{n}$. Обозначим $g(n)=\dfrac{1}{f(n)}$. Найдите сумму \[ g(211)+g(212)+\ldots+g(2025). \]
Ответ:
Решение:
Последовательность $x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots$ такова, что $x_1=126\,650$, а для любого натурального значения $n$ справедливо соотношение \[x_1+x_2+\ldots+x_n=\dfrac{n(8n+17)(2n+1)x_n}{15(2n+3)}.\] Найдите $x_{1562}$.
Ответ:
Решение:
Последовательность $a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots$ такова, что $a_1=8\,866\,411$, а для любого натурального значения $n$ справедливо соотношение \[ a_1+a_2+\ldots+a_n=\frac{n(3n-2)(3n+5)a_n}{8}. \] Найдите $a_{508}$.
Ответ:
Решение:
Задана функция $f(x)$ такая, что $f(0)=29\,892\,109$, а для любого натурального значения $k$ справедливо равенство $f(0)+f(1)+\ldots+f(k)=(k+1)(3k+1)f(k)$. Найдите $f(2021)$.
Ответ:
Решение:
На плоскости нарисовано $100$ прямоугольников с вершиной в начале координат, с противоположной вершиной — на гиперболе $y=\frac{2x+3}{x}$ в точках с абсциссой $x=n$, $n=1,2,3,\ldots,100$ со сторонами параллельными координатным осям. Область $D$ содержит те точки плоскости, которые принадлежат только одному из прямоугольников. Найдите площадь $D$.
Ответ:
Решение: