Рассмотрим такие натуральные числа $a$, $b$ и $c$, что дробь \[ k=\dfrac{ab+c^2}{a+b} \] является натуральным числом, меньшим $a$ и $b$. Какое наименьшее количество натуральных делителей может быть у числа $a+b$?
Ответ:
Решение:
Назовём главными делителями составного числа $n$ два наибольших его натуральных делителя, отличных от $n$. Составные натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что главные делители числа $a$ совпадают с главными делителями числа $b$. Докажите, что $a=b$.
Ответ:
Решение:
Известно, что и сумма и произведение двух натуральных чисел $a$ и $b$ — квадраты натуральных чисел. Докажите, что число $|16a-9b|$ — не простое.
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $n$, большее 2. Докажите, что если число $n!+n^3+1$ — простое, то число $n^2+2$ представляется в виде суммы двух простых чисел.
Ответ:
Решение:
Делители натурального числа $n$ (включая $n$ и 1), имеющего больше трёх делителей, выписали по возрастанию:\[1=d_1\lt d_2\lt \ldots\lt d_k=n.\]Разности\[u_1=d_2-d_1,\quad u_2=d_3-d_2,\quad\ldots,\quad u_{k-1}=d_k-d_{k-1}\]оказались такими, что\[u_2-u_1=u_3-u_2=\ldots=u_{k-1}-u_{k-2}.\]Найдите все такие $n$.
Ответ:
Решение:
Пусть $p_1$, $p_2$, $\ldots$, $p_{100}$ — сто простых чисел, среди которых нет одинаковых. Натуральные числа $a_1$, $\ldots$, $a_k$, большие 1, таковы, что каждое из чисел $p_1p_2^3$, $p_2p_3^3$, $\ldots$, $p_{99}p_{100}^3$, $p_{100}p_1^3$ равно произведению каких-то двух из чисел $a_1$, $\ldots$, $a_k$. Докажите, что $k\geqslant150$.
Ответ:
Решение:
Назовем два числа почти равными друг другу, если они равны друг другу или отличаются друг от друга не более, чем на единицу. Клетчатый прямоугольник со сторонами, равными натуральным числам $a$ и $b$, таков, что из него нельзя по линиям сетки вырезать прямоугольник, площадь которого почти равна половине площади исходного прямоугольника. Какое наименьшее значение может принимать число $|a-b|$?
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $n$. Докажите, что при некотором натуральном $m$ у числа $m^3+m$ ровно один или ровно два различных простых делителя, больших $n$.
Ответ:
Решение:
Докажите, что найдётся такое натуральное число $n\gt 10^{2018}$, что сумма всех простых чисел, меньших $n$, взаимно проста с $n$.
Ответ:
Решение:
Найдите все тройки (не обязательно различных) натуральных чисел $a, b, c$ такие, что каждое из чисел \[ a+bc,\quad b+ca,\quad c+ab \] является простым делителем числа $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)$.
Ответ:
Решение:
Натуральное число называется совершенным, если оно вдвое меньше суммы всех своих натуральных делителей: например, совершенным является число 6, так как $2\cdot6=1+2+3+6$. Может ли сумма всех попарных произведений натуральных делителей совершенного числа $n$ делиться на $n^2$?
Ответ:
Решение:
Дано нечётное натуральное число $a$, большее 100. На доску выписали все натуральные числа вида $(a-n^2)/4$, где $n$ — натуральное число. Оказалось, что при $n\leqslant\sqrt{a/5}$ все они простые. Докажите, что и каждое из остальных выписанных на доску натуральных чисел простое или равно единице.
Ответ:
Решение:
Докажите, что существует натуральное число $n$, большее $10^{100}$, такое, что сумма всех простых чисел, меньших $n$, взаимно проста с $n$.
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $k$, большее 1. Натуральное число $n$, большее 1 и взаимно простое с $k$, назовём правильным, если для любого натурального делителя $d$ ($d\lt n$) числа $n$ число $d+k$ не взаимно просто с $n$. Докажите, что правильных чисел — конечное количество.
Ответ:
Решение: