Можно ли вписать в клетки таблицы $3\times3$ различные натуральные числа так, чтобы как в любой строке, так и в любом столбце у записанных там трех чисел произведение делилось на 2024, а сумма была меньше 100?
Ответ:
Решение:
Существует ли треугольник, у которого длины не совпадающих между собой медианы и высоты, проведенных из одной его вершины, соответственно равны длинам двух сторон этого треугольника?
Ответ:
Решение:
Будем называть две клетки клетчатой таблицы соседями, если у них есть общая сторона. Можно ли покрасить в белой таблице размером $10\times10$ клеток 32 клетки в черный цвет так, чтобы у каждой черной клетки было поровну черных и белых соседей, а у каждой белой клетки — не поровну?
Ответ:
Решение:
Можно ли за каждую цифру от 0 до 9 назначить цену так, чтобы все 10 цен были различны и нашлись 20 идущих подряд натуральных чисел, каждое из которых, кроме первого, стоит дороже предыдущего? Здесь цена натурального числа — это сумма цен цифр в его записи.
Ответ:
Решение:
Существует ли выпуклый 201-угольник, в котором каждая диагональ перпендикулярна какой-то другой диагонали?
Ответ:
Решение:
На прямоугольном листе бумаги провели несколько отрезков, параллельных его сторонам. Эти отрезки разбили лист на несколько прямоугольников, внутри которых нет проведённых линий. Петя хочет провести в каждом из прямоугольников разбиения одну диагональ, разбив его на два треугольника, и окрасить каждый треугольник либо в чёрный, либо в белый цвет. Верно ли, что он обязательно сможет это сделать так, чтобы никакие два одноцветных треугольника не имели общего отрезка границы?
Ответ:
Решение:
На доске написаны 11 целых чисел (не обязательно различных). Может ли оказаться, что произведение любых пяти из них больше, чем произведение остальных шести?
Ответ:
Решение:
Можно ли раскрасить все натуральные числа в два цвета так, чтобы никакая сумма двух различных одноцветных чисел не являлась степенью двойки?
Ответ:
Решение:
На прямоугольном столе лежат несколько картонных прямоугольников. Их стороны параллельны сторонам стола. Размеры прямоугольников могут различаться, они могут перекрываться, но никакие два прямоугольника не могут иметь 4 общих вершины. Может ли оказаться, что каждая точка, являющаяся вершиной прямоугольника, является вершиной ровно трёх прямоугольников?
Ответ:
Решение:
На столе по кругу разложены 1000 карточек, на каждой написано по натуральному числу; все эти числа различны. Сначала Вася выбирает одну из карточек и снимает её со стола. Далее он повторяет следующую операцию. Если на последней снятой карточке было написано число $k$, то Вася отсчитывает от неё по часовой стрелке $k$-ю не снятую со стола карточку и тоже снимает её. Это происходит до тех пор, пока на столе не останется одна карточка. Могло ли оказаться, что в начальном расположении есть такая карточка $A$, что если снять первой любую другую карточку, то в конце останется обязательно карточка $A$?
Ответ:
Решение:
Бессмертная блоха прыгает по целым точкам на числовой прямой, стартуя с точки 0. Длина первого прыжка равна 3, второго — 5, третьего — 9, и так далее (длина $k$-го прыжка равна $2^k+1$). Направление прыжка (вправо или влево) блоха выбирает самостоятельно. Может ли так случиться, что блоха рано или поздно побывает в любой натуральной точке (возможно, побывав в некоторых точках больше, чем по разу)?
Ответ:
Решение:
Как разрезать квадрат на 12 треугольников, площади которых относятся как \[ 1:2:3:\ldots:11:12? \]
Ответ:
Решение:
На 2025 досках написали по натуральному числу. Разрешается проделывать такую операцию: на одной из досок вместо написанного на ней числа записать его куб, а на каждой из остальных досок вместо написанного на ней числа записать в три раза меньшее число, если оно является целым (если хотя бы одно из чисел после деления на 3 становится нецелым, операция невозможна!). Можно ли написать такие числа и проделать несколько (не меньше одной) операций так, чтобы после последней операции на каждой доске оказалось исходное число?
Ответ:
Решение:
Существуют ли такие 2022 натуральных числа, что среди них нет одинаковых и произведение любых 1012 из них делится на произведение остальных 1010?
Ответ:
Решение:
У уголка из трёх клеток центральной назовём клетку, соседнюю по стороне с двумя другими. Существует ли клетчатая фигура, которую можно разбить на уголки из трех клеток тремя способами так, чтобы каждая ее клетка в одном из разбиений была центральной в своем уголке?
Ответ:
Решение:
Существуют ли такие два числа, что первое больше второго в 2016 раз, а сумма его цифр меньше суммы цифр второго в 2016 раз?
Ответ:
Решение:
Тренер дал начинающим шахматистам задание: каждый должен подойти к шахматной доске $8\times8$, поставить шахматного короля на одну из угловых клеток и сделать им 21 ход так, чтобы король побывал в каких-то двух других угловых клетках и вернулся в исходную клетку. После этого короля убирают, и к доске подходит следующий ребёнок. Четыре ребёнка по очереди выполнили задание. Обязательно ли после этого найдутся такие две клетки $A$ и $B$, что хотя бы два ребёнка сделали ход королём с клетки $A$ на клетку $B$?
Ответ:
Решение:
Существуют ли такие составные натуральные числа $m\gt n\gt 1$, что у чисел $m$, $n$, $m+n$ и $m-n$ наибольший делитель, отличный от самого числа, одинаковый?
Ответ:
Решение:
В стране 30 городов и 30 двусторонних авиалиний, соединяющих города по циклу. Можно ли добавить дополнительно еще 10 авиалиний так, чтобы после этого из любого города можно было добраться до любого другого не более чем за 4 перелета?
Ответ:
Решение:
Клетчатую таблицу назовём разнообразной, если её клетки раскрашены в чёрный и белый цвет так, что во всех строках разное количество чёрных клеток, а также во всех столбцах разное количество чёрных клеток.
Пару натуральных чисел $(m,n)$ назовём подходящей, если существует разнообразная таблица $m\times n$, причём $10\leqslant m\leqslant 20$ и $10\leqslant n\leqslant 20$. Сколько существует подходящих пар? (Если числа $m$ и $n$ различны, то пары $(m,n)$ и $(n,m)$ считаются различными.)
Пару натуральных чисел $(m,n)$ назовём подходящей, если существует разнообразная таблица $m\times n$, причём $10\leqslant m\leqslant 20$ и $10\leqslant n\leqslant 20$. Сколько существует подходящих пар? (Если числа $m$ и $n$ различны, то пары $(m,n)$ и $(n,m)$ считаются различными.)
Ответ:
Решение: