Можете ли вы с помощью четырёх арифметических действий (также можно использовать скобки) записать число $2016$, используя последовательно цифры $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$?
Ответ:
Решение:
Расставьте знаки арифметических действий и скобки в выражении, состоящем из трёх чисел \[ \frac18\ \ldots\ \frac19\ \ldots\ \frac1{28}\,, \] так, чтобы результат вычислений был равен $\frac{1}{2016}$.
Ответ:
Решение:
Можно ли расставить числа $2016, 2017, \ldots, 2024$ на указанные позиции (см. рисунок) так, чтобы сумма чисел, стоящих на каждой стороне треугольника, была одинаковой?
Ответ:
Решение:
Можно ли расставить числа $2020, 2021, \ldots, 2028$ на указанные позиции (см. рисунок) так, чтобы сумма чисел, стоящих на каждой стороне треугольника, была одинаковой?
Ответ:
Решение:
Саша записывает числа 1, 2, 3, 4, 5 в каком-нибудь порядке, расставляет знаки арифметических операций «$+$», «$-$», «$\times$» и скобки и смотрит на результат полученного выражения. Например, он может получить число 8 с помощью выражения $(4-3)\times(2+5)+1$. Может ли он получить число 123? Формировать числа из нескольких других нельзя (например, из чисел 1 и 2 нельзя составить число 12).
Ответ:
Решение:
Можно ли так расставить знаки «$+$» и «$-$» на месте звездочек, так, чтобы получилось верное равенство $*\,1^2*2^2*\ldots*2020^2=2020$?
Ответ:
Решение:
На урок физкультуры пришло 12 детей, все разной силы. Учитель 10 раз делил их на две команды по 6 человек, каждый раз новым способом, и проводил состязание по перетягиванию каната. Могло ли оказаться так, что все 10 раз состязание закончилось вничью (то есть суммы сил детей в командах были равны)?
Ответ:
Решение:
На девяти карточках написаны числа от 1 до 9 (каждое — по одному разу). Эти карточки выложили в ряд так, что нет трёх подряд лежащих карточек, на которых числа идут по возрастанию, а также нет трёх подряд лежащих карточек, на которых числа идут по убыванию. Затем три карточки перевернули числом вниз, как показано на рисунке. Какие числа на них написаны?
$\boxed{\text{1}}$ $\boxed{A}$ $\boxed{\text{3}}$ $\boxed{\text{4}}$ $\boxed{B}$ $\boxed{\text{8}}$ $\boxed{\text{7}}$ $\boxed{C}$ $\boxed{\text{6}}$
$\boxed{\text{1}}$ $\boxed{A}$ $\boxed{\text{3}}$ $\boxed{\text{4}}$ $\boxed{B}$ $\boxed{\text{8}}$ $\boxed{\text{7}}$ $\boxed{C}$ $\boxed{\text{6}}$
- Число на карточке $A$ равно …
- Число на карточке $B$ равно …
- Число на карточке $C$ равно …
Ответ:
Решение:
Клеточки пирамиды заполнили по следующему правилу: над каждыми двумя соседними числами записали их сумму. Некоторые числа стёрли, и получилась конструкция, изображённая на рисунке. Какое число было в самой верхней клеточке?
Ответ:
Решение:
Три медвежонка делили три кусочка сыра массой 10 г, 12 г и 15 г. Лиса стала им помогать. Она может от любых двух кусочков одновременно откусить и съесть по 1 г сыра. Сможет ли лиса оставить медвежатам равные кусочки сыра?
Ответ:
Решение:
Отмечено 9 точек, как показано на рисунке. Нарисуйте два различных по форме семиугольника с вершинами в отмеченных точках. Для каждого семиугольника сделайте отдельный чертёж.
Ответ:
Решение:
Число 11 можно представить в виде суммы четырёх квадратов чисел только одним способом, не считая порядка слагаемых: \[11=9+1+1+0=3^2+1^2+1^2+0^2.\] Можно ли число 99 представить в виде суммы четырёх квадратов двумя различными способами?
Ответ:
Решение:
На рисунке два треугольника разделяют листок бумаги на 6 частей (шестая часть — это то, что останется на листе, если вырезать оба треугольника). Нарисуйте два четырёхугольника, которые разделяют лист бумаги на 9 частей. Пронумеруйте полученные части.
Ответ:
Решение:
Среди четырёх людей нет трёх с одинаковым именем, или с одинаковым отчеством, или с одинаковой фамилией, но у каждых двух совпадает или имя, или отчество, или фамилия. Может ли такое быть?
Ответ:
Решение:
Приведите пример такого выражения, состоящего из единиц, скобок, знаков «$+$» и «$\times$», что
- его значение равно 11;
- если в этом выражении заменить все знаки «$+$» на знаки «$\times$», а знаки «$\times$» на знаки «$+$», то всё равно получится 11.
Ответ:
Решение:
Числитель и знаменатель дроби — положительные числа. Числитель увеличили на 1, а знаменатель — на 100. Может ли полученная дробь оказаться больше исходной?
Ответ:
Решение:
Впишите вместо букв $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ цифры 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы сумма цифр во всех прямоугольниках $1\times3$ (и горизонтальных, и вертикальных) равнялась 13. Каждая из цифр от 1 до 5 должна встречаться в таблице ровно один раз.
| 7 | $A$ | |
| $B$ | 6 | $C$ |
| $D$ | $E$ | 8 |
| (a) Вместо буквы $A$ | (1) должна стоять цифра 1 |
| (b) Вместо буквы $B$ | (2) должна стоять цифра 2 |
| (c) Вместо буквы $C$ | (3) должна стоять цифра 3 |
| (d) Вместо буквы $D$ | (4) должна стоять цифра 4 |
| (e) Вместо буквы $E$ | (5) должна стоять цифра 5 |
Ответ:
Решение:
Расставьте цифры от 1 до 6 (каждую нужно использовать ровно один раз) так, чтобы сумма трёх чисел, расположенных на каждой из 7 прямых, была равна 15. В ответе укажите, какие цифры должны стоять на местах $A$–$F$.
| (a) Вместо буквы $A$ | (1) должна стоять цифра 1 |
| (b) Вместо буквы $B$ | (2) должна стоять цифра 2 |
| (c) Вместо буквы $C$ | (3) должна стоять цифра 3 |
| (d) Вместо буквы $D$ | (4) должна стоять цифра 4 |
| (e) Вместо буквы $E$ | (5) должна стоять цифра 5 |
| (f) Вместо буквы $F$ | (6) должна стоять цифра 6 |
Ответ:
Решение:
Денис разбил треугольник на девять треугольничков, как показано на рисунке, и расставил в них числа, при этом в белых треугольниках числа оказались равны суммам чисел в соседних с ними (по сторонам) серых треугольниках. После этого Лёша стёр числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 и вместо них написал буквы $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ и $F$ в некотором порядке. Получившаяся расстановка чисел и букв изображена на рисунке.
Где какие числа стояли первоначально?
Где какие числа стояли первоначально?
| (a) Вместо буквы $A$ | (1) стояло число 1 |
| (b) Вместо буквы $B$ | (2) стояло число 2 |
| (c) Вместо буквы $C$ | (3) стояло число 3 |
| (d) Вместо буквы $D$ | (4) стояло число 4 |
| (e) Вместо буквы $E$ | (5) стояло число 5 |
| (f) Вместо буквы $F$ | (6) стояло число 6 |
Ответ:
Решение:
Числа от 1 до 9 расставили в клетки таблицы $3\times3$ так, что сумма чисел на одной диагонали равна 7, а на другой — 21. Чему равна сумма чисел в пяти закрашенных клетках?
Ответ:
Решение: