Ответ:
Решение:
По кругу расставлено 99 положительных чисел. Оказалось, что для любых четырех стоящих подряд чисел сумма двух первых из них по часовой стрелке равна произведению двух последних из них по часовой стрелке. Чему может быть равна сумма всех 99 расставленных чисел?
Ответ:
Решение:
Тройку положительных чисел $(a,b,c)$ назовём загадочной, если \[ \sqrt{a^2+\frac{1}{a^2c^2}+2ab}+\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2a^2}+2bc}+\sqrt{c^2+\frac{1}{c^2b^2}+2ca}=2(a+b+c). \] Докажите, что если тройка $(a,b,c)$ — загадочная, то тройка $(c,b,a)$ — тоже загадочная.
Ответ:
Решение:
Сергей утверждает, что нашел различные вещественные числа $x, y, z$ такие, что \[ \frac{1}{x^2+x+1}+\frac{1}{y^2+y+1}+\frac{1}{z^2+z+1}=4. \] Могут ли слова Сергея быть правдой?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найдите все пары $(x,y)$ действительных чисел, удовлетворяющие условиям: $x^3+y^3=1$ и $x^4+y^4=1$.
Ответ:
Решение:
Незнайка знаком только с десятичными логарифмами и считает, что логарифм суммы двух чисел равен произведению их логарифмов, а логарифм разности двух чисел равен частному их логарифмов. Может ли Незнайка подобрать хотя бы одну пару чисел, для которой действительно верны одновременно оба этих равенства?
Ответ:
Решение:
Найдите все пары целых чисел $(x;y)$, удовлетворяющие неравенству \[\sqrt{y+3-10x}+\dfrac{1}{\sqrt{10x-1-y}}\gt y^2+12y.\]
Ответ:
Решение:
Найдите все пары целых чисел $(x;y)$, удовлетворяющие уравнению \[ \sqrt{2x-2y-x^2-y^2}+\sqrt{1-|x-y-1|}=2. \]
Ответ:
Решение:
Найдите все пары чисел $(x;y)$, удовлетворяющих уравнению \[ \dfrac{(3x^2+2xy-y^2)^{2016}+(x^2-4x+3)^{1580}}{\sqrt{28-3y-y^2}\cdot(y^3+y^2+9y+9)}=0. \]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Решите уравнение: \[ \left|x^2+y^3-19\right|+\left|x^2y+xy^2+6\right|+\frac{x|y|-y|x|+2xy}{xy}=0. \]
Ответ:
Решение:
Найти наименьшее положительное значение выражения $x+y$ для всех пар чисел $(x;y)$, удовлетворяющих уравнению $(\sin x+\cos y)(\cos x-\sin y)=1+\sin(x-y)\cos(x+y)$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Пусть $x_0$ — положительный корень уравнения $x^{2017}-x-1=0$, а $y_0$ — положительный корень уравнения $y^{4034}-y=3x_0$.
а) Сравните $x_0$ и $y_0$.
б) Найдите десятый знак после запятой числа $|x_0-y_0|$.
а) Сравните $x_0$ и $y_0$.
б) Найдите десятый знак после запятой числа $|x_0-y_0|$.
Ответ:
Решение:
Решите неравенство \[ x+\sqrt{x^2+4}\geqslant\left(2x+1+\sqrt{4x^2+4x+2}\right)\cdot 8^{x+1}. \]
Ответ:
Решение:
Найдите все решения неравенства: \[ \sin^{2018}x+\cos^{-2019}x\geqslant\cos^{2018}x+\sin^{-2019}x, \] принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{7\pi}{4}\right]$.
Ответ:
Решение:
Решите неравенство \[ 4(1-\mathrm{tg}\,x)^{2004}+(1+\mathrm{tg}\,x)^{2006}\geqslant 2^{2006}. \]
Ответ:
Решение: