Действительные числа $a$, $b$, $c$, $d$ таковы, что \[ a+\operatorname{arctg} b\gt c+\operatorname{arctg} d,\quad b+\operatorname{arctg} a\gt d+\operatorname{arctg} c. \] Докажите, что $a+b\gt c+d$.
Ответ:
Решение:
Найти все пары вещественных чисел $(x,y)$, удовлетворяющих системе \[\begin{cases}\left(2-\sqrt{3}\right)^x=3^y+4^y,\\ \sqrt{-x^2-3xy-y^2}=2y+\dfrac{x}{2}\,.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Найти все пары чисел $(x;y)$, для которых \[ \sqrt{\cos x+1}+\sqrt{\cos2x+2}+\sqrt{\cos y+3}=\sqrt{\cos y+1}+\sqrt{\cos x+2}+\sqrt{\cos2x+3}=\sqrt{\cos2x+1}+\sqrt{\cos y+2}+\sqrt{\cos x+3}. \]
Ответ:
Решение:
Решить уравнение \[ \left(\sin2x+\sqrt{1+\sin^22x}\right)\left(\sin3x+\sqrt{1+\sin^23x}\right)=1. \]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
При каких тройках чисел $(x;y;z)$, удовлетворяющих системе \[ \begin{cases} \sin x-\sin y=y-x,\\ \sin y-\sin z=y-z, \end{cases} \] выражение $\left|\dfrac{z}{1+xy}\right|$ принимает наибольшее возможное значение?
Ответ:
Решение:
Решить уравнение \[ \left(\log_2x+\sqrt{\log_2^2x+1}\right)\left(\log_2(x-2)+\sqrt{\log_2^2(x-2)+1}\right)=1. \]
Ответ:
Решение:
Решить уравнение \[ \left(\sin x+\sqrt{1+\sin^2x}\right)\left(\cos2x+\sqrt{1+\cos^22x}\right)=1. \]
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений \[\begin{cases} \sqrt{x+1}-\sqrt{6-y}+5=2\sqrt{6+5x-y^2},\\ x^4+5x^2-\sqrt y=y^4-\sqrt x+5y^2.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Решите неравенство \[ 5^{\log_{12}\left(x^2+18x\right)}+x^2\geqslant\left|x^2+18x\right|^{\log_{12}13}-18x. \]
Ответ:
Решение:
Известно, что число $a$ удовлетворяет уравнению $x^3+6x^2+17x+7=0$, а число $b$ — уравнению $x^3-3x^2+8x+5=0$. Найдите наименьшее возможное значение суммы $a+b$.
Ответ:
Решение:
Известно, что число $a$ удовлетворяет уравнению $x^3+3x^2+6x-9=0$, а число $b$ — уравнению $x^3+3x^2+6x+17=0$. Найдите наибольшее возможное значение суммы $a+b$.
Ответ:
Решение:
Пользуясь свойствами функций, решите уравнение: \[ \frac{\left(\frac{x^3+5}{6}\right)^3+5}{6}=x. \] В ответ укажите сумму квадратов его корней.
Ответ:
Решение: