В основании призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит равнобокая трапеция $ABCD$ ($AD\parallel BC$). Сфера радиуса 3 с центром в плоскости $AA_1D_1D$ касается плоскостей $ABCD$, $A_1B_1C_1D_1$ и прямых $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$. Известно, что $A_1D_1=7$, $BC=5$. Найти:
- угол между прямыми $AD$ и $BB_1$;
- двугранный угол между гранями $BB_1C_1C$ и $CC_1D_1D$;
- объём призмы.
Ответ:
Решение:
В треугольной пирамиде $ABCD$ сфера касается граней $ACD$ и $BCD$ в точках $B_1$ и $A_1$, являющихся основаниями высот пирамиды, и пересекает ребро $AB$ в точках $K$ и $L$. Известно, что $AB=\sqrt{10}$, $KL=\sqrt{\dfrac{10}{3}}$, $BC=\sqrt{\dfrac{35}{2}}$, $AD=5$. Найти расстояние между рёбрами $AB$ и $CD$, радиус окружности, высекаемой на сфере плоскостью $ABC$, и объём пирамиды $ABCD$.
Ответ:
Решение:
В пирамиде $ABCD$ грани $ABC$ и $ADC$ являются равнобедренными треугольниками с общим основанием $AC$. Сфера радиуса $R$ с центром в точке $O$, лежащей на грани $ABC$, касается всех рёбер пирамиды $ABCD$. Найти длины отрезков, на которые точки касания сферы делят рёбра пирамиды, и объём пирамиды $ABCD$, если угол $ABC$ равен $2\alpha$. Найти значение угла $ABC$, при котором объём пирамиды $ABCD$ будет наименьшим. Найти это наименьшее значение объёма пирамиды $ABCD$.
Ответ:
Решение:
На основании $ABCD$ четырёхугольной пирамиды $SABCD$ расположена точка $O$. Сфера с центром в точке $O$ касается прямых $SA$, $SB$, $SC$, $SD$ в точках $A$, $B$, $K$, $L$ соответственно. Известно, что $AB=KL=2\sqrt5$, $AL=2$, $BK=6$, а отрезок $SO$ составляет с плоскостью $ABCD$ угол $\arccos\dfrac23$. Найти длины отрезков $AK$, $OS$ и $SD$.
Ответ:
Решение:
В основании пирамиды $SABCD$ лежит параллелограмм $ABCD$. Сфера $\omega$ радиуса $\dfrac{15}{14}$ с центром $O$ касается рёбер $AS$, $BS$, $AD$, $BC$ пирамиды $SABCD$ соответственно в точках $K$, $L$, $M$, $N$, пересекает ребро $AB$ в точках $P$ и $Q$ и касается грани $CDS$. Известно, что прямая $SO$ перпендикулярна плоскости $ABCD$ и пересекает её в точке $H$, $\dfrac{AB}{PQ}=\dfrac{4}{\sqrt7}$, $\dfrac{AS}{LS}=\dfrac32$. Найти $\angle SAB$, $\angle SBH$, высоту пирамиды и её объём.
Ответ:
Решение:
В основании пирамиды $SABCD$ лежит параллелограмм $ABCD$. Сфера $\omega$ радиуса $\frac{15}{14}$ с центром $O$ касается рёбер $AS$, $BS$, $AD$, $BC$ пирамиды $SABCD$ соответственно в точках $K$, $L$, $M$, $N$, пересекает ребро $AB$ в точках $P$ и $Q$ и касается грани $CDS$. Известно, что прямая $SO$ перпендикулярна плоскости $ABCD$ и пересекает её в точке $H$; $\frac{AB}{PQ}=\frac{4}{\sqrt{7}}$, $\frac{AS}{LS}=\frac{3}{2}$. Найти углы $SAB$ и $SBH$, высоту пирамиды и её объём.
Ответ:
Решение:
Дана усечённая пирамида $ABCA_1B_1C_1$ с боковыми рёбрами $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ ($ABC\parallel A_1B_1C_1$), такая, что треугольник $ABA_1$ — равносторонний. На ребре $CC_1$, перпендикулярном основанию $ABC$ пирамиды, лежит точка $M$ такая, что $CM:MC_1=1:2$. Сфера $\Omega$ с радиусом $\sqrt5$ проходит через вершины треугольника $ABA_1$ и касается отрезка $CC_1$ в точке $M$.
а) Найдите длину ребра $AB$.
б) Пусть дополнительно известно, что $\angle BAC=\arcsin\frac1{\sqrt3}$. Найдите угол между прямой $CC_1$ и плоскостью $ABA_1$, а также длину ребра $A_1C_1$.
а) Найдите длину ребра $AB$.
б) Пусть дополнительно известно, что $\angle BAC=\arcsin\frac1{\sqrt3}$. Найдите угол между прямой $CC_1$ и плоскостью $ABA_1$, а также длину ребра $A_1C_1$.
Ответ:
Решение:
Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, грани $ABCD$ и $CDD_1C_1$ которого являются прямоугольниками. Сфера $S$ касается прямых $B_1C_1$ и $C_1D_1$, плоскости $CDD_1$, а также плоскости $ABC$ в точке $A$. Эта сфера повторно пересекает отрезок $AC_1$ в точке $M$. Найдите $\angle BB_1C_1$ и объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, если известно, что $AM=5$, $C_1M=3$.
Ответ:
Решение:
Дана треугольная пирамида $SABC$, медианы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$. Сфера $\Omega$ касается ребра $AS$ в точке $L$ и касается плоскости основания пирамиды в точке $K$, лежащей на отрезке $AM$. Сфера $\Omega$ пересекает отрезок $SM$ в точках $P$ и $Q$. Известно, что $SP=MQ$, площадь треугольника $ABC$ равна 90, $SA=BC=12$.
а) Найдите произведение длин медиан $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$.
б) Найдите двугранный угол при ребре $BC$ пирамиды, если дополнительно известно, что $\Omega$ касается грани $BCS$ в точке $N$, $SN=4$, а радиус сферы $\Omega$ равен 5.
а) Найдите произведение длин медиан $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$.
б) Найдите двугранный угол при ребре $BC$ пирамиды, если дополнительно известно, что $\Omega$ касается грани $BCS$ в точке $N$, $SN=4$, а радиус сферы $\Omega$ равен 5.
Ответ:
Решение:
В основании четырёхугольной пирамиды $SABCD$ лежит четырёхугольник $ABCD$, в котором $AB=BC=\sqrt5$, $AD=DC=\sqrt2$, $AC=2$. Ребро $SD$ — высота пирамиды. Известно, что $SA+SB=2+\sqrt5$. Найдите:
а) объем пирамиды;
б) радиус шара, касающегося граней $ABCD$, $SAB$, $SBC$ и ребра $SD$.
а) объем пирамиды;
б) радиус шара, касающегося граней $ABCD$, $SAB$, $SBC$ и ребра $SD$.
Ответ:
Решение:
Шар $\Omega$ касается всех рёбер правильной усечённой пирамиды, а шар $\omega$ касается всех её граней. Пусть сторона верхнего основания меньше, чем сторона нижнего. Найдите отношение площади боковой поверхности пирамиды к площади её нижнего основания.
Ответ:
Решение:
В прямую четырёхугольную призму $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вписана сфера $\omega$. Луч с началом в точке $A$ пересекает $\omega$ в точках $P$ и $Q$, а луч с началом в точке $C$ пересекает $\omega$ в точках $M$ и $N$. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей четырёхугольника $ABCD$. Найдите объём призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и расстояние $\rho$ от центра $\omega$ до плоскости $PAC$, если известно, что \[ AO=1,\quad BO=2,\quad CO=4,\quad AP=\dfrac{\sqrt{5}}{3},\quad AQ=\dfrac{5\sqrt{5}}{3},\quad CM=\dfrac{10\sqrt{5}}{9},\quad CN=2\sqrt{5}. \]
Ответ:
Решение:
Внутри тетраэдра $ABCD$ даны точки $X$ и $Y$. Расстояния от точки $X$ до граней $ABC$, $ABD$, $ACD$, $BCD$ равны 14, 11, 29, 8 соответственно. А расстояния от точки $Y$ до граней $ABC$, $ABD$, $ACD$, $BCD$ равны 15, 13, 25, 11 соответственно. Найдите радиус вписанной сферы тетраэдра $ABCD$.
Ответ:
Решение:
Дана треугольная пирамида $ABCD$. Сфера $\omega_A$ касается грани $BCD$, а также плоскостей остальных граней вне самих граней. Аналогично, сфера $\omega_B$ касается грани $ACD$, а также плоскостей остальных граней вне самих граней. Пусть $K$ — точка касания сферы $\omega_A$ с плоскостью $ACD$, а $L$ — точка касания сферы $\omega_B$ с плоскостью $BCD$. На продолжениях отрезков $AK$ и $BL$ за точки $K$ и $L$ выбраны точки $X$ и $Y$ соответственно так, что $\angle CKD=\angle CXD+\angle CBD$ и $\angle CLD=\angle CYD+\angle CAD$. Докажите, что точки $X$ и $Y$ равноудалены от середины отрезка $CD$.
Ответ:
Решение:
Сфера с центром в точке $I$ вписана в тетраэдр $ABCD$ и касается его граней $BCD$, $CDA$, $DAB$, $ABC$ в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ соответственно. Отрезок $A_1B_1$ пересекает плоскость $C_1D_1I$ в точке $E$. Докажите, что середина ребра $AB$ лежит в плоскости $CDE$.
Ответ:
Решение: