Готовые варианты контрольных — за минуты

Женщина, работающая кассиром в железнодорожной кассе, увидела, что перед окошком нет покупателей, вздохнула, повесила объявление «Технический перерыв 15 минут» и ушла ровно на 15 минут. Когда Рассеянный Ученый подошел к кассе, он увидел, что перед ним в очереди уже пять желающих приобрести билет и покорно ждущих, когда окошко откроется. Какова вероятность того, что касса откроется не позже, чем через 3 минуты после прихода Ученого?

Митя, Ваня и Дима бросили монету по $2n$ раз. Известно, что у Мити и Вани орлов случилось поровну. Что более вероятно: событие $A$ «у Димы выпало ровно $n$ орлов» или событие $B$ «у Мити выпало ровно $n$ орлов»? Если события не равновероятны, то во сколько раз одно из этих событий вероятнее другого?

Футбольный матч продолжается 90 минут. Ничья возможна. Что более вероятно в таком матче: что общее число заброшенных мячей будет четным или что оно окажется нечетным?

Можно ли:
а) нагрузить две монеты так, чтобы вероятности выпадения «орла» и «решки» были разные, а вероятности выпадения любой из комбинаций «решка, решка», «орел, решка», «орел, орел» были бы одинаковы?
б) нагрузить две кости так, чтобы вероятность выпадения любой суммы от 2 до 12 была одинаковой?

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для событий $A$, $B$ и $C$ в некотором случайном опыте. В семи областях диаграммы указаны вероятности соответствующих событий. Известно, что события $A$ и $B$ независимы и что их вероятности отличны от 0.

Найдите наибольшую возможную вероятность события $$(A\cup B\cup C)\cap\overline{(A\cap B\cap C)}.$$

В группе детского сада 5 мальчиков и 5 девочек. Между каждым мальчиком и каждой девочкой есть взаимная симпатия с вероятностью $p=0{,}5$, а с вероятностью $q=0{,}5$ взаимной симпатии нет независимо от прочих симпатий. По команде воспитателя все дети разбиваются на пары «мальчик–девочка». Сначала формируются случайные пары на основе взаимной симпатии (назовем их добровольными), а уже потом, если симпатий не хватило, — случайные пары, в которых взаимной симпатии нет (вынужденные). Какова вероятность того, что все образовавшиеся пары добровольные? Результат округлите до тысячных.

В случайном опыте ровно 5 равновозможных элементарных событий. Рассмотрим все возможные события этого опыта. Сколько из них можно выбрать пар различных независимых событий?

Однажды прекрасная королева Гвиневра, находясь в родительском замке, попросила короля Артура прислать ей 20 жемчужин. На дорогах неспокойно, и Артур на всякий случай решил послать 40 жемчужин, причем с разными гонцами, велев им скакать по разным дорогам. На пути гонцов могут подстерегать разбойники. Вероятность того, что каждый отдельный гонец будет ограблен, равна $p$, независимо от выбранной дороги и от судьбы других гонцов $(0\lt p\lt 1)$.
Король в раздумьях: послать двух гонцов, дав каждому по 20 жемчужин, послать трех гонцов, дав одному 20, а двум по 10 жемчужин, или послать четырех гонцов, дав каждому по 10 жемчужин? Какой вариант следует выбрать королю, чтобы королева с наибольшей вероятностью получила хотя бы 20 жемчужин?

Незнайка решал следующую задачу. «Дан набор из 20 случайных цифр. Найдите вероятность того, что произведение этих цифр оканчивается на 0». Незнайка рассуждал так.
Если набор содержит цифру 0, то произведение цифр точно оканчивается на 0. Вероятность этого равна $1-\left(\frac{9}{10}\right)^{20}$. Если номер не содержит 0 (вероятность этого $\left(\frac{9}{10}\right)^{20}$), то, чтобы произведение было нулевым, он должен содержать хотя бы одну чётную цифру и цифру 5.
Всего есть девять ненулевых цифр, из них только четыре чётные. Вероятность того, что все цифры нечётные, равна $\left(\frac{5}{9}\right)^{20}$, значит, вероятность того, что есть хотя бы одна чётная цифра, равна $1-\left(\frac{5}{9}\right)^{20}$.
После того как мы удостоверились, что в номере нет нуля, но есть чётная цифра, надо убедиться в том, что есть цифра 5. Условная вероятность того, что пятёрки нет, при условии, что есть чётная цифра, равна $\left(\frac{8}{9}\right)^{19}$, ведь одна позиция занята чётной цифрой, так что пятёрка на этой позиции точно стоять не будет, остаётся 19 позиций, и пятёрка отсутствует, если на каждой из них одна из восьми цифр (не 5 и не 0). Поэтому условная вероятность того, что пятёрка есть, равна $1-\left(\frac{8}{9}\right)^{19}$. Следовательно, искомая вероятность равна $$\left(1-\left(\frac{9}{10}\right)^{20}\right)+\left(\frac{9}{10}\right)^{20}\cdot\left(1-\left(\frac{5}{9}\right)^{20}\right)\cdot\left(1-\left(\frac{8}{9}\right)^{19}\right)\approx 0{,}987.$$
Знайка провёл эксперимент: он сгенерировал на компьютере 1000 случайных последовательностей по 20 цифр в каждой и нашёл долю тех последовательностей, где произведение цифр оканчивалось нулём. Эксперимент дал результат близкий к ответу Незнайки. Расхождение оказалось совсем небольшим и, возможно, случайным, если Незнайка правильно решил задачу. Или не случайным?
Повторите эксперимент Знайки несколько раз. Удаётся ли с помощью эксперимента подтвердить или опровергнуть правоту Незнайки? Если Незнайка все же ошибся, то как правильно решить задачу?

В Анчурии ежегодно проходит Конгресс Городов, на который приезжают делегации всех пяти городов. В делегации каждого города есть члены правящей Анчурийской Партии Прогресса (APP), а также члены оппозиционной Партии Развития Анчурии (ADP). В разных делегациях количественное соотношение политических сил разное, но в каждой делегации членов APP большинство.
Конгресс проходит в два дня, и на каждый день избирается Председатель Конгресса. Процедура выборов такова: каждый вечер накануне заседания честным жребием выбирается город, а затем среди делегатов из выбранного города честным жребием выбирается Председатель на завтра.
Однажды президент Анчурии предложил новую процедуру. 1. За неделю до Конгресса честным жребием выбирается город. 2. Председатель на каждый день выбирается честным жребием из делегатов выбранного города.
В частном разговоре с премьер-министром президент объяснил, что новая процедура увеличит вероятность того, что оба дня Председателями будут члены лояльной APP. Премьер-министр был против изменений и возразил, что из-за новой процедуры вырастет вероятность того, что оба дня Председателями окажутся члены ненавистной ADP.
Кто прав — президент или премьер-министр?

Однажды карманник Кирпич украл бумажник, в котором оказались четыре кредитные карты и записка с четырьмя пин-кодами к этим картам. Кирпич не знает, какой пин-код соответствует какой карте. Если три раза неправильно ввести пин-код к какой-то карте, то она заблокируется.
а) Покажите, что Кирпич сможет снять деньги с трёх карт, если будет действовать правильно.
б) Какова вероятность того, что Кирпич сможет снять деньги со всех четырёх карт?

Согласно одной неправдоподобной легенде, Коши и Буняковский очень любили по вечерам играть в дартс. Но мишень у них была необычная — секторы на ней были неравные, так что вероятности попасть в разные секторы были не одинаковы. Однажды Коши бросил дротик и попал в мишень. Следующим бросает Буняковский. Что более вероятно: что Буняковский попадёт в тот же сектор, в который попал Коши, или что он попадёт в следующий сектор по часовой стрелке?

На берёзе сидели белые и чёрные вороны — всего их было 50. Белые точно были, но чёрных было не меньше, чем белых. На дубе тоже сидели белые и чёрные вороны, и было их всего 50. На дубе чёрных тоже было не меньше, чем белых или столько же, а может быть, даже на одну меньше. Одна случайная ворона перелетела с берёзы на дуб, а через некоторое время другая (хотя, может быть, та же самая) случайная ворона перелетела с дуба на берёзу. Что более вероятно: что количество белых ворон на берёзе стало таким же, как было сначала, или что оно изменилось?

В одном пакетике два пирожка с капустой, в другом два с вишней, в третьем — один с капустой и один с вишней. Выглядят и весят пирожки одинаково, так что неизвестно, какой с чем. Внуку в школу нужно дать один пирожок. Бабушка хочет дать пирожок с вишней, но она сама запуталась в своих пирожках и определить начинку может, только надломив пирожок. Надломленный пирожок внук не хочет, он хочет целый.
а) Покажите, что бабушка может действовать так, что вероятность дать внуку целый пирожок с вишней будет равна $\frac{2}{3}$.
б) Существует ли стратегия, при которой вероятность дать внуку целый пирожок с вишней выше, чем $\frac{2}{3}$? Если да — найдите эту стратегию. Если нет — докажите её отсутствие.

Когда Рассеянному Учёному приходит в голову гениальная идея, он записывает её на листке бумаги, но тут же понимает, что идея не гениальная, комкает лист и кидает под стол, где стоят две мусорные корзины. Учёный промахивается мимо первой корзины с вероятностью $p$ (где $p\gt 0{,}5$), и с такой же вероятностью он промахивается мимо второй. За утро Учёный бросил под стол пять скомканных гениальных идей. Найдите вероятность того, что в каждой корзине оказалось хотя бы по одной из утренних идей.

Неправдоподобная легенда гласит, что однажды король Франции приказал отчеканить две памятные монеты в честь великого математика Даламбера. Король захотел, чтобы при бросании этих двух монет события «Два орла», «Две решки» и «Один орёл и одна решка» оказались равновероятны, пусть даже монеты окажутся разной формы. Сможет ли французский монетный двор выпустить такие монеты?

Если бросают игральную кость, то событие $A=\{1, 2, 3\}$ состоит в том, что выпала одна из граней 1, 2 или 3. Аналогично, событию $B=\{1, 2, 4\}$ благоприятствуют грани 1, 2 и 4.
Игральную кость бросили 10 раз. Известно, что событие $A$ осуществилось ровно 6 раз.
а) Найдите вероятность того, что при этом условии событие $B$ не произошло ни разу.
б) Найдите математическое ожидание случайной величины $X$ «Количество осуществлений события $B$».

В понедельник у Миши пять уроков, а во вторник — шесть. Чтобы предсказать, на каких уроках непредсказуемые учителя спросят у него домашнее задание, Миша бросает монету 11 раз — по числу возможных неприятностей. Если выпадает орёл, Миша считает, что на этом уроке его спросят, если решка — то не спросят. После уроков во вторник Миша констатировал, что ему удалось угадать 7 раз. Найдите вероятность того, что ровно 3 верных предсказания относились к понедельнику.

Вероятность рождения двойняшек в Швамбрании равна $p$, тройняшки в Швамбрании не рождаются.
а) Оцените вероятность того, что случайно встреченный на улице швамбранец — один из пары двойняшек?
б) В некоторой швамбранской семье трое детей. Какова вероятность того, что среди них есть пара двойняшек?
в) В школах швамбранских двойняшек обязательно зачисляют в один класс. Всего в Швамбрании $N$ первоклассников. Каково математическое ожидание числа пар двойняшек среди них?

Будем считать, что рождение девочки и мальчика равновероятны. Известно, что в некоторой семье двое детей.
а) Какова вероятность того, что из них один мальчик и одна девочка?
б) Дополнительно известно, что один из детей — мальчик. Какова теперь вероятность того, что в семье один мальчик и одна девочка?
в) Дополнительно известно, что мальчик родился в понедельник. Какова теперь вероятность того, что в семье один мальчик и одна девочка?