Грабитель узнал, что код замка — четырехзначное число, содержащее в своей записи единицу, семерку и две пятерки. Ему не было известно, что замок открывается, если сумма всех положительных делителей кода достигает своего наибольшего возможного значения. Найти код, открывающий замок.
Ответ:
Решение:
Натуральное число $n\geqslant2024$ имеет простой делитель $p\gt 3$ и другой делитель $q$, связанный с $p$ соотношением $(p-1)(q+3)=n-3$. Найдите наименьшее возможное при этих условиях число $n$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найти девять натуральных чисел, кратных шести, среди которых ни одно число не кратно другому, но куб каждого числа кратен квадрату любого из них.
Ответ:
Решение:
Сумма пяти подряд идущих двузначных чисел имеет ровно $6$ делителей. Найдите все возможные значения суммы исходных чисел.
Ответ:
Решение:
Натуральное число $N$ имеет 198 различных натуральных делителей (включая единицу и само число $N$), а количество различных натуральных делителей числа $13N$ (включая единицу и само число $13N$) равно 264. Определите минимально возможное значение $N$.
Ответ:
Решение:
Из множества $M$, состоящего из семи подряд идущих натуральных чисел, выбираются шестёрки попарно различных чисел такие, что сумма чисел в каждой из шестёрок — простое число. Пусть $p$ и $q$ — две из таких сумм. Найдите множество $M$, если $p^2-q^2=792$.
Ответ:
Решение:
Найдите все пары $(m,n)$ натуральных чисел, для которых одно из чисел \[A=m^2+2mn+n^2-9m-9n\quad\text{и}\quad B=m^2n+mn^2-3mn\] равно $13p^2$, а другое равно $75q^2$, где $p$ и $q$ — простые числа.
Ответ:
Решение:
Сколько существует троек целых чисел $(a;b;c)$ таких, что они образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию, а их произведение $abc$ равно $2^{150}\cdot 3^{150}$?
Ответ:
Решение:
Функция $f$ определена на множестве положительных рациональных чисел. Известно, что для любых чисел $a$ и $b$ из этого множества выполнено равенство $f(ab)=f(a)+f(b)$, и при этом $f(p)=[p/4]$ для любого простого числа $p$ ($[x]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $x$). Найдите количество пар натуральных чисел $(x;y)$ таких, что $1\leqslant x\leqslant 24$, $1\leqslant y\leqslant 24$ и $f(x/y)\lt 0$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее натуральное $n$, для которого число $6500!$ делится на каждое из чисел $k^k$ при $k=1,2,3,\ldots,n$.
Ответ:
Решение:
Найдите натуральное число, которое имеет десять натуральных делителей (включая единицу и само число), два из которых простые, а сумма всех его натуральных делителей равна $186$.
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное число, имеющее ровно $42$ натуральных делителя (включая единицу и само число).
Ответ:
Решение:
Можно ли расставить девять различных целых чисел в клетки таблицы $3\times 3$ так, чтобы произведение чисел в каждой строке равнялось $2025$ и произведение чисел в каждом столбце тоже равнялось $2025$?
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее натуральное $n$, обладающее следующим свойством: для любого простого нечётного $p$, меньшего $n$, разность $n-p$ также является простым числом.
Ответ:
Решение:
При каких натуральных $n\gt 1$ найдутся $n$ подряд идущих натуральных чисел, сумма которых равна $2016$?
Ответ:
Решение:
Найдите такое наименьшее натуральное число, что его половина есть пятая степень некоторого целого числа, а пятая часть есть квадрат некоторого целого числа.
Ответ:
Решение:
Назовем число изумительным, если оно имеет ровно 3 различных нечётных натуральных делителя (и произвольное количество чётных). Сколько существует изумительных двузначных чисел?
Ответ:
Решение:
Назовем число замечательным, если оно имеет ровно 4 различных натуральных делителя, причем среди них найдутся два таких, что ни один не кратен другому. Сколько существует замечательных двузначных чисел?
Ответ:
Решение: