По кругу расставлены 100 различных натуральных чисел. Вася разделил каждое из них с остатком на следующее по часовой стрелке; при этом оказалось, что остатки, полученные Васей, принимают всего два различных значения. Петя разделил каждое из чисел с остатком на следующее против часовой стрелки. Докажите, что все остатки, полученные Петей, различны.
Ответ:
Решение:
Найдите такое наибольшее $n$, что сумма четвёртых степеней любых $n$ простых чисел, больших 10, делится на $n$.
Ответ:
Решение:
При некоторых натуральных $n\gt m$ число $n$ оказалось представимо в виде суммы 2021 слагаемых, каждое из которых равно некоторой целой неотрицательной степени числа $m$, а также в виде суммы 2021 слагаемых, каждое из которых равно некоторой целой неотрицательной степени числа $m+1$. При каком наибольшем $m$ это могло произойти (хоть при каком-то $n\gt m$)?
Ответ:
Решение:
Две бесконечные последовательности $a_1, a_2, \ldots$ и $b_1, b_2, \ldots$ натуральных чисел таковы, что при любых различных натуральных $m$ и $k$ число $a_m-b_k$ делится на $m-k$. Обязательно ли $a_n=b_n$ при всех натуральных $n$?
Ответ:
Решение:
Некоторое натуральное число $a$ разделили с остатком на числа 1, 2, 3, $\ldots$, 1000. Могло ли так случиться, что среди остатков ровно по 10 раз встретятся числа 0, 1, 2, 3, $\ldots$, 99?
Ответ:
Решение:
Даны натуральные числа $a$ и $b$. Докажите, что существует бесконечно много натуральных $n$ таких, что число $a^n+1$ не делится на $n^b+1$.
Ответ:
Решение:
Последовательность натуральных чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$ задана условиями $a_1=1$, $a_{n+1}=a_n+a_{[\sqrt{n}]}$ при всех натуральных $n\geqslant 1$. Докажите, что для каждого натурального $k$ в этой последовательности найдётся член, делящийся на $k$. (Как обычно, $[x]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)
Ответ:
Решение:
Даны непостоянный многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами и натуральное число $n$. Положим $a_0=n$, $a_k=P(a_{k-1})$ при всех натуральных $k$. Оказалось, что для любого натурального $b$ в последовательности $a_0$, $a_1$, $a_2$, $\ldots$ есть число, являющееся $b$-й степенью натурального числа, большего 1. Докажите, что многочлен $P(x)$ — линейный.
Ответ:
Решение:
В строку выписаны 200 натуральных чисел. Среди любых двух соседних чисел строки правое либо в 9 раз больше левого, либо в 2 раза меньше левого. Может ли сумма всех этих 200 чисел равняться $24^{2022}$?
Ответ:
Решение:
Рассмотрим все 100-значные числа, делящиеся на 19. Докажите, что количество таких чисел, не содержащих цифр 4, 5 и 6, равно количеству таких чисел, не содержащих цифр 1, 4 и 7.
Ответ:
Решение:
Докажите, что существует такое $c\gt 0$, что для любого нечётного простого $p=2k+1$ числа $1^0$, $2^1$, $3^2$, $\ldots$, $k^{k-1}$ дают хотя бы $c\sqrt{p}$ различных остатков при делении на $p$.
Ответ:
Решение:
На доску выписаны 2026 попарно различных натуральных чисел, больших 1. Оказалось, что для любого выписанного числа $a$ найдутся хотя бы $k$ пар выписанных чисел $b\lt c$, для которых $bc-1$ делится на $a-1$. Найдите наибольшее возможное значение $k$.
Ответ:
Решение:
Пусть $n$ — нечётное натуральное число. Дана таблица $n\times n$. Расстоянием между двумя клетками таблицы назовём наименьшее число шагов, за которое можно добраться от одной клетки до другой, переходя каждый раз в соседнюю по стороне клетку (так, расстояние между клетками, соседними по стороне, равно 1). $R$ клеток таблицы окрашены в красный цвет, а другие $B$ клеток — в синий. Известно, что любая прямая, соединяющая центры красной и синей клеток, не параллельна ни одной из диагоналей таблицы. Кроме того, расстояние между любыми красной и синей клетками не равно $n$. Докажите, что $\sqrt{R}+\sqrt{B}\leqslant n$.
Ответ:
Решение:
Натуральные числа $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_k$ ($k\lt 2020$) удовлетворяют такому условию: для любого из них можно выбрать из остальных чисел одно или несколько так, чтобы сумма их 1024-х степеней делилась на его 1024-ю степень. Докажите, что среди этих чисел есть два равных.
Ответ:
Решение:
Петя и Вася написали на доске по 100 различных натуральных чисел. Петя поделил все свои числа на Васины с остатком и выписал все 10000 получившихся остатков себе в тетрадь. Вася поделил все свои числа на Петины с остатком и выписал все 10000 получившихся остатков себе в тетрадь. Оказалось, что наборы выписанных Васей и Петей остатков совпадают. Докажите, что тогда и наборы их исходных чисел совпадают.
Ответ:
Решение:
Какие натуральные числа можно представить в виде \[ a^2+2023b^2-2024c^2, \] где $a,b,c$ — различные целые числа?
Ответ:
Решение:
Среди всех остатков, которые дают степени 2 при делении на нечётное число $m$, большее 1, оказалось ровно $k$ чисел, больших $\dfrac{m}{2}$. Пусть натуральное число $n$ таково, что $2^n-1$ делится на $m$. Докажите, что если число $\dfrac{2^n-1}{m}$ представлено в виде суммы различных целочисленных степеней двойки, то количество слагаемых в такой сумме делится на $k$.
Ответ:
Решение:
У многочлена $P(x)$ все коэффициенты — целые неотрицательные числа. Известно, что $P(1)=4$ и $P(5)=152$. Чему равно $P(11)$?
Ответ:
Решение:
Кощей Бессмертный открыл счет в банке «Спёрбанк». Изначально на счете было 0 рублей. В первый день Кощей кладёт на счёт $k$ ($k\gt 0$) рублей, а каждый следующий день добавляет туда на один рубль больше, чем накануне (на второй день он добавляет $k+1$ рублей, на третий — $k+2$ рубля и т. д.) Каждый раз сразу после того, как Кощей вносит деньги на счёт, общая величина счёта уменьшается банком в два раза. Найдите все такие $k$, при которых сумма на счёте всегда будет выражаться целым числом рублей.
Ответ:
Решение:
Учитель собирается дать детям задачу следующего вида. Он сообщит им, что он задумал многочлен $P(x)$ степени 2017 с целыми коэффициентами, старший коэффициент которого равен 1. Затем он сообщит им $k$ целых чисел $n_1$, $n_2$, $\ldots$, $n_k$ и отдельно сообщит значение выражения $P(n_1)P(n_2)\ldots P(n_k)$. По этим данным дети должны найти многочлен, который мог бы задумать учитель. При каком наименьшем $k$ учитель сможет составить задачу такого вида так, чтобы многочлен, найденный детьми, обязательно совпал бы с задуманным?
Ответ:
Решение: