Пользуясь равенством $\lg 11=1{,}0413\ldots$, найдите наименьшее число $n\gt 1$, для которого среди $n$-значных чисел нет ни одного, равного некоторой натуральной степени числа 11.
Ответ:
Решение:
У каждого из девяти натуральных чисел $n$, $2n$, $3n$, $\ldots$, $9n$ выписали первую слева цифру. Может ли при некотором натуральном $n$ среди девяти выписанных цифр быть не более четырёх различных?
Ответ:
Решение:
Подряд в строчку выписана 2018 цифр. Известно, что в этой строчке каждое двузначное число, записываемое двумя соседними цифрами (в том порядке, в каком они записаны), делится на 17 или на 23. В этой строчке последняя цифра 5. Какая цифра в строчке первая? Дать обоснованный ответ.
Ответ:
Решение:
Найдите количество шестизначных чисел, обладающих следующим свойством: сумма остатков от деления числа на некоторые две последовательные степени числа десять равна 1234.
Ответ:
Решение:
Пусть $S(n)$ означает сумму цифр натурального числа $n$. Найти наибольшее 100-значное натуральное число $n$, удовлетворяющее условию: для всех натуральных $m$ ($1\leqslant m\leqslant n$) справедливы равенства $S(mn)=S(n)$.
Ответ:
Решение:
Назовём натуральное число счастливым, если все его цифры можно разбить на две группы, сумма цифр в каждой из которых одинакова. Примеры: 38221 ($3+2+2+1=8$), 5678 ($5+8=6+7$). Назовем число суперсчастливым, если оно счастливое и следующее за ним целое число тоже счастливое. Найдите количество суперсчастливых чисел на отрезке $[400;2400]$.
Ответ:
Решение:
В десятичной записи чётного числа $M$ участвуют только цифры $0$, $2$, $4$, $5$, $7$ и $9$, цифры могут повторяться. Известно, что сумма цифр числа $2M$ равняется $35$, а сумма цифр числа $M/2$ равняется $29$. Какие значения может принимать сумма цифр числа $M$? Укажите все возможные ответы.
Ответ:
Решение:
Саша обнаружил, что на калькуляторе осталось ровно $n$ исправных кнопок с цифрами. Оказалось, что любое натуральное число от $1$ до $99999999$ можно либо набрать, используя лишь исправные кнопки, либо получить как сумму двух натуральных чисел, каждое из которых можно набрать, используя лишь исправные кнопки. Каково наименьшее $n$, при котором это возможно?
Ответ:
Решение:
Докажите, что для любого натурального $n$ найдется натуральное число, десятичная запись квадрата которого начинается $n$ единицами, а заканчивается какой-то комбинацией из $n$ единиц и двоек.
Ответ:
Решение:
Существует ли 2016-значное число, перестановкой цифр которого можно получить 2016 разных 2016-значных полных квадратов?
Ответ:
Решение:
При каких натуральных $n$ для всякого натурального $k\geqslant n$ найдётся число с суммой цифр $k$, кратное $n$?
Ответ:
Решение:
Пусть $x$ и $y$ — пятизначные числа, в десятичной записи которых использованы все десять цифр ровно по одному разу. Найдите наибольшее возможное значение $x$, если \[ \operatorname{tg} x^\circ-\operatorname{tg} y^\circ=1+\operatorname{tg} x^\circ\operatorname{tg} y^\circ \] ($x^\circ$ обозначает угол в $x$ градусов).
Ответ:
Решение:
Толя хочет получить из данного натурального числа однозначное. Для этого разрешается расставить между цифрами плюсы произвольным образом и вычислить сумму (например, из числа $123456789$ можно получить $12345+6+789=13140$). С полученным числом снова разрешается сделать подобную операцию, и так далее. Докажите, что за 10 операций всегда можно получить однозначное число.
Ответ:
Решение:
Для $n=1,2,3$ будем называть числом $n$-го типа любое число, которое либо равно $0$, либо входит в бесконечную геометрическую прогрессию $1,(n+2),(n+2)^2,\ldots$, либо является суммой нескольких различных её членов. Докажите, что любое натуральное число можно представить в виде суммы числа первого типа, числа второго типа и числа третьего типа.
Ответ:
Решение:
Таблица размером $2017\times2017$ заполнена ненулевыми цифрами. Среди $4034$ чисел, десятичные записи которых совпадают со строками и столбцами этой таблицы, читаемыми слева направо и сверху вниз соответственно, все, кроме одного, делятся на простое число $p$, а оставшееся число на $p$ не делится. Найдите все возможные значения $p$.
Ответ:
Решение:
Назовем тройку чисел триплетом, если одно из них равно среднему арифметическому двух других. Последовательность $(a_n)$ строится следующим образом: $a_0=0$, $a_1=1$ и при $n\gt 1$ число $a_n$ — такое минимальное натуральное число, большее $a_{n-1}$, что среди чисел $a_0, a_1, \ldots, a_n$ нет трёх, образующих триплет. Докажите, что $a_{2023}\leqslant 100\,000$.
Ответ:
Решение:
Сколько пар $(x;y)$ целых чисел, являющихся решениями уравнения $7x-5y=23$, удовлетворяют неравенству $x^2+y^2\leqslant 37$? Найти пару $(x;y)$, для которой $x+y$ наибольшее.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найдите пару натуральных чисел $x$ и $a$, удовлетворяющих условию \[ x^2+2x+21=a^2. \] В ответ выпишите их сумму.
Ответ:
Решение:
Целые числа $m$ и $n$ таковы, что $4m+5n=mn-9$. Найдите, какое наибольшее значение может принимать $m$.
Ответ:
Решение: