Решите систему уравнений \[ \begin{cases} \dfrac{5x}{y}-\dfrac{9y}{x}+10=\dfrac{6}{xy},\\[2mm] \dfrac{2x}{y}+\dfrac{3y}{x}+4=\dfrac{9}{xy}. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Решить уравнение \[ \log_{\sin x}\sin2x+\log_{\sin2x}\sin3x+\log_{\sin3x}\sin x=\log_{\sin2x}\sin x+\log_{\sin3x}\sin2x+\log_{\sin x}\sin3x. \]
Ответ:
Решение:
Найдите количество пар целых чисел $(x;y)$, удовлетворяющих системе \[ \begin{cases} \log_x 2+3\log_y 8+4\log_{xy}\dfrac{1}{16}=0,\\ \dfrac{x-1}{x+1}\gt \dfrac{3y-3}{7y+7},\\ x\leqslant 31. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Даны числа $\log_{\sqrt{5x-1}}(4x+1)$, $\log_{4x+1}\left(\frac x2+2\right)^2$, $\log_{\frac x2+2}(5x-1)$. При каких $x$ два из этих чисел равны, а третье меньше их на 1?
Ответ:
Решение:
Решите уравнение \[ \log_{2x+9}\left(2x^2+13x+18\right)\cdot\log_{x+2}\left(x^3+8\right)=\log_{2x+9}\left(2x^2+13x+18\right)+\log_{x+2}\left(x^3+8\right). \]
Ответ:
Решение:
Решите уравнение \[ \log_{\mathrm{tg}\,x}(\operatorname{ctg}x-2)+\log_{(\operatorname{ctg}x-2)}\sqrt{\mathrm{tg}\,x}=\dfrac{3}{2}. \]
Ответ:
Решение:
Решить уравнение \[\log_{\left(x+\frac13\right)}\sqrt[3]{x^3+\dfrac13}+\log_{\left(x^3+\frac13\right)}\left(x+\dfrac13\right)=\dfrac43.\]
Ответ:
Решение:
Решить уравнение \[\log_{11-x^2}\left(2^x-6+3\cdot2^{2-x}\right)=\log_{x-1}\left(2^x-6+3\cdot2^{2-x}\right).\]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найти $x$, при которых числа $\log_2(6\sin x)$, $\log_{2\cos x}(6\sin x)$ и $\log_{2\cos x}4$ могут быть тремя последовательными членами геометрической прогрессии.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $x$, при каждом из которых одно из трёх данных чисел \[ \log_x\left(x-\frac{13}{6}\right),\quad \log_{x-\frac{13}{6}}(x-3)\quad\text{и}\quad \log_{x-3}x \] равно произведению двух остальных.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $x$, при каждом из которых одно из трёх данных чисел \[ \log_{x^2}\left(x^2-10x+21\right),\quad \log_{x^2}\frac{x^2}{x-7}\quad\text{и}\quad \log_{x^2}\frac{x^2}{x-3} \] равно сумме двух остальных.
Ответ:
Решение:
Решите уравнение \[ \log_{x^2-2x}\left(2-3^{4x-x^2}\right)=\log_{6-x}\left(2-3^{4x-x^2}\right). \]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Решите уравнение \[ \log_{3^{x-1}}\left(x^2-11x+19\right)+\log_{27^{x-1}}x^3=\dfrac{2}{x-1}. \]
Ответ:
Решение:
Решите систему \[\begin{cases}\dfrac{9-4^{y+1}-3^x\cdot 2^{y+2}-9^x}{4^{y+1}+3^x\cdot 2^{y+1}-3^{x+1}-9}=\dfrac{3^x+2^{y+1}-3}{3^x-1},\\ 3^{x-1}\cdot 2^{y+1}=1.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} 2^{x+2y}+2^x=3\cdot2^y,\\ 2^{2x+y}+2\cdot2^y=4\cdot2^x. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
а) Решить уравнение: $\displaystyle \log_{\sin x}(13-11\cos2x-12\sin x)=3+\log_{\sqrt{\sin x}}\left(2\sqrt3\right)$.
б) Найти корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle \left[-\frac{3\pi}{2};~\pi\right]$.
б) Найти корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle \left[-\frac{3\pi}{2};~\pi\right]$.
Ответ:
Решение: