График функции $f(x)=\frac{1}{12}x^2+ax+b$ пересекает ось $Ox$ в точках $A$ и $C$, а ось $Oy$ — в точке $B$, как изображено на рисунке. Оказалось, что для точки $T$ с координатами $(3;3)$ выполнено условие $TA=TB=TC$. Найдите $b$.
Ответ:
Решение:
Даны различные вещественные числа $a_1$, $a_2$, $a_3$ и $b$. Оказалось, что уравнение \[ (x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)=b \] имеет три различных вещественных корня $c_1$, $c_2$, $c_3$. Найдите корни уравнения \[ (x+c_1)(x+c_2)(x+c_3)=b. \]
Ответ:
Решение:
Числа $a$ и $b$ таковы, что каждый из двух квадратных трёхчленов $x^2+ax+b$ и $x^2+bx+a$ имеет по два различных корня, а произведение этих трёхчленов имеет ровно три различных корня. Найдите все возможные значения суммы этих трёх корней.
Ответ:
Решение:
График $y=x+b\sqrt{x}+c$, где $c\gt 0$, имеет с осью ординат общую точку $C$, а ось абсцисс пересекает в точках $X_1$ и $X_2$. Обозначим через $O$ начало координат. Докажите, что $\angle CX_1O+\angle CX_2O=90^\circ$.
Ответ:
Решение:
На доске пишут $n$ квадратных трёхчленов вида $\ast x^2+\ast x+\ast$ (вместо коэффициентов написаны звёздочки). Можно ли при каком-либо $n\gt 100$ поставить вместо $3n$ звёздочек некоторые $3n$ последовательных натуральных чисел (в каком-то порядке) так, чтобы каждый из $n$ данных трёхчленов имел два различных целых корня?
Ответ:
Решение:
Дан многочлен $P(x)$ степени $n\gt 1$ с вещественными коэффициентами. Известно, что уравнение $P(P(P(x)))=P(x)$ имеет ровно $n^3$ различных вещественных корней. Докажите, что эти $n^3$ корней можно разбить на две группы с равными средними арифметическими.
Ответ:
Решение:
Уравнение \[ t^4+at^3+bt^2=(a+b)(2t-1) \] имеет положительные решения $t_1\lt t_2\lt t_3\lt t_4$. Докажите, что $t_1t_4\gt t_2t_3$.
Ответ:
Решение:
При каком наименьшем $k$ для любого многочлена $f(x)$ степени 100 с вещественными коэффициентами найдётся такой многочлен $g(x)$ степени не выше $k$ с вещественными коэффициентами, что графики $y=f(x)$ и $y=g(x)$ имеют ровно 100 общих точек?
Ответ:
Решение:
Пусть $P(x)$ — многочлен степени $n$ с вещественными коэффициентами, у которого старший коэффициент равен 1. Оказалось, что можно выбрать 100 попарно различных вещественных корней $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_{100}$ у многочлена $P(x)$ и 100 попарно различных вещественных корней $y_1$, $y_2$, $\ldots$, $y_{100}$ у многочлена $P(x)-1$ так, чтобы числа $x_i$ и $y_i$ отличались на 1 при всех $i=1, 2, \ldots, 100$. Каково наименьшее возможное значение $n$?
Ответ:
Решение:
Положительные действительные числа $x$, $y$ удовлетворяют равенствам \[y=\sqrt[3]{x}\quad\text{и}\quad x^y=y^x.\] Чему может быть равно $xy$? Укажите все возможные варианты в любом порядке.
Ответ:
Решение:
Приведите пример числа $x$, для которого выполняется равенство \[\sin2017x-\operatorname{tg}2016x=\cos2015x.\] Ответ обоснуйте.
Ответ:
Решение:
Рассмотрим уравнение $\sin^3 x+\cos^3 x=-1$. Сколько у него решений на промежутке $[0, 6\pi]$?
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений \[\begin{cases}\sin x\cos y=\sin z,\\ \cos x\sin y=\cos z,\end{cases}\] если числа $x$, $y$ и $z$ лежат на отрезке $\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$.
Ответ:
Решение:
Верно ли, что при любых ненулевых целых числах $a$ и $b$ система \[ \begin{cases} \operatorname{tg}(13x)\operatorname{tg}(ay)=1,\\ \operatorname{tg}(21x)\operatorname{tg}(by)=1 \end{cases} \] имеет хотя бы одно решение?
Ответ:
Решение:
Пусть $k_1$ — наименьшее натуральное число, являющееся корнем уравнения \[\sin k^\circ=\sin 334k^\circ.\]
1. Найдите $k_1$.
2. Найдите наименьший корень этого же уравнения, являющийся натуральным числом, большим $k_1$.
1. Найдите $k_1$.
2. Найдите наименьший корень этого же уравнения, являющийся натуральным числом, большим $k_1$.
Ответ:
Решение: