Многочлен $G(x)$ с действительными коэффициентами принимает значение 2022 ровно в пяти различных точках $x_1\lt x_2\lt x_3\lt x_4\lt x_5$. Известно, что график функции $y=G(x)$ симметричен относительно прямой $x=-8$.
1. Найдите $x_1+x_3+x_5$.
2. Какую наименьшую степень может иметь $G(x)$?
1. Найдите $x_1+x_3+x_5$.
2. Какую наименьшую степень может иметь $G(x)$?
Ответ:
Решение:
Многочлен $P(x)$ с действительными коэффициентами, отличный от константы, таков, что для всех действительных $x$ верно \[P(x^2)=x(1+x^2)P(x).\]
1. Найдите $P(-1)$.
2. Найдите $\dfrac{P(5)}{P(2)}$.
1. Найдите $P(-1)$.
2. Найдите $\dfrac{P(5)}{P(2)}$.
Ответ:
Решение:
Пусть $n$ — натуральное число. На $2n+1$ карточках написано по ненулевому целому числу; сумма всех чисел также ненулевая. Требуется этими карточками заменить звёздочки в выражении $*x^{2n}+*x^{2n-1}+\ldots+*x+*$ так, чтобы полученный многочлен не имел целых корней. Обязательно ли это можно сделать?
Ответ:
Решение:
Обозначим $\alpha$ положительный корень квадратного трёхчлена \[x^2+x-5.\] Многочлен $P(x)$ имеет целые неотрицательные коэффициенты, и $P(\alpha)=49$.
1. Найдите наименьший возможный свободный член многочлена $P$.
2. Найдите наименьшую возможную сумму коэффициентов многочлена $P$.
1. Найдите наименьший возможный свободный член многочлена $P$.
2. Найдите наименьшую возможную сумму коэффициентов многочлена $P$.
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $N\geqslant3$. Назовём набор из $N$ точек на координатной плоскости допустимым, если их абсциссы различны, и каждая из этих точек окрашена либо в красный, либо в синий цвет. Будем говорить, что многочлен $P(x)$ разделяет допустимый набор точек, если либо выше графика $P(x)$ нет красных точек, а ниже — нет синих, либо наоборот (на самом графике могут лежать точки обоих цветов). При каком наименьшем $k$ любой допустимый набор из $N$ точек можно разделить многочленом степени не более $k$?
Ответ:
Решение:
Дан кубический многочлен $f(x)$. Назовём циклом тройку различных чисел $(a,b,c)$ таких, что $f(a)=b$, $f(b)=c$ и $f(c)=a$. Известно, что нашлись восемь циклов $(a_i,b_i,c_i)$, $i=1,2,\ldots,8$, в которых участвуют 24 различных числа. Докажите, что среди восьми чисел вида $a_i+b_i+c_i$ есть хотя бы три различных.
Ответ:
Решение:
Бесконечная последовательность ненулевых чисел $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$ такова, что при всех натуральных $n\geqslant 2018$ число $a_{n+1}$ является наименьшим корнем многочлена \[P_n(x)=x^{2n}+a_1x^{2n-2}+a_2x^{2n-4}+\ldots+a_n.\] Докажите, что существует такое $N$, что в бесконечной последовательности $a_N$, $a_{N+1}$, $a_{N+2}$, $\ldots$ каждый член меньше предыдущего.
Ответ:
Решение:
Многочлен $P(x)$ с вещественными коэффициентами имеет степень $10^5$, а его старший коэффициент равен 1. Найдите наименьшую возможную степень многочлена \[ R(x)=P\left(x^{1000}+1\right)-P(x)^{1000}. \]
Ответ:
Решение:
Пусть $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0$, где $n$ — натуральное число. Известно, что числа $a_0$, $a_1$, …, $a_n$ — целые, при этом $a_n\ne0$, $a_{n-k}=a_k$ при всех $k=0, 1, \ldots, n$, и $a_n+a_{n-1}+\ldots+a_1+a_0=0$. Докажите, что число $P(2022)$ делится на квадрат некоторого натурального числа, большего 1.
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $n$. Илья задумал пару различных многочленов степени $n$ (с вещественными коэффициентами), аналогично Саша задумал пару различных многочленов степени $n$. Лёня знает $n$; его цель — выяснить, одинаковые ли пары многочленов у Ильи и Саши. Лёня выбирает набор из $k$ вещественных чисел $x_1\lt x_2\lt \ldots\lt x_k$ и сообщает эти числа. В ответ Илья заполняет таблицу $2\times k$: для каждого $i=1,2,\ldots,k$ он вписывает в две клетки $i$-го столбца пару чисел $P(x_i)$, $Q(x_i)$ (в любом из двух возможных порядков), где $P$ и $Q$ — задуманные им многочлены. Аналогичную таблицу заполняет Саша. При каком наименьшем $k$ Лёня сможет (глядя на таблицы) наверняка добиться цели?
Ответ:
Решение:
Параболы $y=x^2+ax+b$ и $y=x^2+cx+d$ пересекают ось $Ox$ в точке $(2019;0)$. Докажите, что если точки их вторичного пересечения с осью $Ox$ расположены симметрично относительно начала координат, то и точки их пересечения с осью $Oy$ расположены симметрично относительно начала координат.
Ответ:
Решение:
Существуют ли такие три действительных числа, что если их поставить в одном порядке в качестве коэффициентов квадратного трёхчлена, то он будет иметь два различных положительных корня, а если в другом порядке, то два различных отрицательных корня?
Ответ:
Решение:
Корни уравнения $x^2+px+q=0$ — целые числа, отличные от нуля. Докажите, что число $p^2+(q-1)^2$ составное.
Ответ:
Решение:
Пусть $\alpha$ и $\beta$ — действительные корни уравнения $x^2-x-2021=0$, причём $\alpha\gt \beta$. Обозначим \[A=\alpha^2-2\beta^2+2\alpha\beta+3\beta+7.\] Найдите наибольшее целое число, не превосходящее $A$.
Ответ:
Решение:
Действительные ненулевые числа $a$ и $b$ таковы, что квадратный трёхчлен \[P(x)=ax^2-20ax+b\] имеет два действительных корня, отличающихся на 2.
1. Найдите меньший из этих корней.
2. Найдите $\dfrac{b}{a}$.
1. Найдите меньший из этих корней.
2. Найдите $\dfrac{b}{a}$.
Ответ:
Решение:
Даны квадратные трёхчлены $x^2+ax+b$, $x^2+cx+d$ и $x^2+ex+f$. Оказалось, что любые два из них имеют общий корень, но все три общего корня не имеют. Докажите, что выполнены ровно два неравенства из следующих трёх: \[ \begin{gathered} \dfrac{a^2+c^2-e^2}{4}\gt b+d-f,\\ \dfrac{c^2+e^2-a^2}{4}\gt d+f-b,\\ \dfrac{e^2+a^2-c^2}{4}\gt f+b-d. \end{gathered} \]
Ответ:
Решение:
График квадратного трёхчлена $y=\frac{2}{\sqrt{3}}x^2+bx+c$ пересекает оси координат в трёх точках $K$, $L$ и $M$, как на рисунке ниже. Оказалось, что $KL=KM$ и $\angle LKM=120^\circ$. Найдите корни данного трёхчлена.
Ответ:
Решение:
Приведённые квадратные трёхчлены $P(x)$ и $Q(x)$ таковы, что каждое из чисел \[0,\ 4,\ 6,\ 8,\ 9,\ 12\] является корнем одного из трёхчленов $P(x)$, $Q(x)$, $P(x)+Q(x)$. Чему равно $P(0)+Q(0)$?
Напомним, что квадратный трёхчлен $ax^2+bx+c$ называется приведённым, если $a=1$.
Напомним, что квадратный трёхчлен $ax^2+bx+c$ называется приведённым, если $a=1$.
Ответ:
Решение:
Квадратный трехчлен $f(x)=ax^2+bx+c$ имеет два различных вещественных корня $x_1$ и $x_2$. Известно, что $f(x_1+x_2)=2025$. Чему может равняться $c$?
Ответ:
Решение:
Два приведённых квадратных трёхчлена $f(x)$ и $g(x)$ таковы, что каждый из них имеет по два корня, и выполняются равенства $f(1)=g(2)$ и $g(1)=f(2)$. Найдите сумму всех четырёх корней этих трёхчленов.
Ответ:
Решение: