Вася и Петя занялись тем, что выкладывали на столе фигуры из одинаковых картонных правильных треугольников. Когда каждый из них собрал свой большой правильный треугольник (без дырок), то оказалось, что Вася использовал на него на $161$ треугольник больше, чем Петя. Сколько треугольников использовал Петя, если у него их было не более $100$ штук?
Ответ:
Решение:
Найти целые числа $x$ и $y$, для которых \[ \log_2\left(\frac{x}{17}+\frac{y}{5}\right)=\log_2\frac{x}{17}+\log_2\frac{y}{5}. \]
Ответ:
Решение:
Сократимая обыкновенная дробь $\dfrac{p}{q}$ при прибавлении к числителю и знаменателю $7$ возросла в три раза. Найти $p$ и $q$, если известно, что $\text{НОД}(p,q)=2$.
Ответ:
Решение:
Робот умеет совершать маневры двух типов: шагать по прямой вперед на 510 шагов и останавливаться, а также проходить по той же прямой 390 шагов назад и останавливаться. Заряд батареи допускает не более 20 таких маневров. Задача робота — остановиться как можно ближе к объекту, расположенному впереди на расстоянии 692 шага от начального положения робота. На каком наименьшем расстоянии от объекта может остановиться робот (в шагах)? Сколько раз при этом робот совершит движение вперед и назад?
Ответ:
Решение:
Найти целые положительные делители $x$ и $y$ числа 1232, удовлетворяющие уравнению \[ 5x-3y+13=0. \]
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условиям:
- число нечётное, но не является простым,
- оно может быть представлено в виде суммы таких двух натуральных чисел, что если одно из этих чисел увеличить в $178$ раз, а другое — уменьшить в $178$ раз, их сумма не изменится.
Ответ:
Решение:
Сколько пар целых чисел $(x;y)$ удовлетворяет уравнению \[ \sqrt{3x}+\sqrt{2y}=\sqrt{2024^2\cdot\sqrt{2025}}? \]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Целые числа $x$, $y$, $z$ удовлетворяют равенству $x\ln 16+y\ln 8+z\ln 24=\ln 6$. Найдите наименьшее возможное значение выражения $x^2+y^2+z^2$.
Ответ:
Решение:
Целые числа $x$, $y$, $z$ удовлетворяют равенству $x\sqrt8+y\sqrt{18}+z\sqrt{29}=\sqrt{32}+\sqrt{116}$. Найдите наименьшее возможное значение выражения $x^2-y^2+z^2$.
Ответ:
Решение:
Найдите количество целочисленных решений $(a;b;c)$ уравнения $27^a\cdot75^b\cdot5^c=1875$, удовлетворяющих условию $|a+b+c|\leqslant111$.
Ответ:
Решение:
Найдите количество целочисленных решений $(a;b;c)$ уравнения $150^a\cdot\left(\frac{200}{3}\right)^b\cdot 2250^c=15000$, удовлетворяющих условию $|a+b+c|\leqslant 250$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Бесконечная геометрическая прогрессия состоит из натуральных чисел. Оказалось, что произведение первых шести её членов равно $40^{612}$. Найдите количество таких прогрессий.
Ответ:
Решение:
Сколько существует пар натуральных чисел $x\gt y$ таких, что их произведение на $19999$ больше их суммы?
Ответ:
Решение:
Найдите количество точек плоскости $xOy$, имеющих натуральные координаты $x$, $y$ и лежащих на параболе $y=-\dfrac{x^2}{9}+33$.
Ответ:
Решение:
Найдите количество точек плоскости $xOy$, имеющих натуральные координаты $x$, $y$ и лежащих на параболе $y=-\dfrac{x^2}{3}+20x+63$.
Ответ:
Решение:
Найдите количество точек плоскости $xOy$, имеющих натуральные координаты $x$, $y$ и лежащих на параболе $y=-\dfrac{x^2}{4}+9x+19$.
Ответ:
Решение:
В классе $13$ мальчиков и $16$ девочек. К Новому Году учительница раздала ребятам конфеты (каждому хотя бы по одной), причём всем мальчикам досталось поровну конфет, и всем девочкам досталось поровну конфет. Оказалось, что существует лишь один способ раздачи (так, чтобы раздать все конфеты). Какое наибольшее число конфет могло быть у учительницы?
Ответ:
Решение:
Семь натуральных чисел выписаны в ряд. Каждое число, начиная с третьего, равняется сумме двух предыдущих чисел. Какое максимально возможное значение может принимать первое число, если последнее равняется $2012$?
Ответ:
Решение: