При каких значениях параметра $a$ система уравнений \[ \begin{cases} |x|-|x-y|=2x-y,\\ x^2+y^2+8y=a \end{cases} \] имеет ровно два решения?
Ответ:
Решение:
При каких $a$ система уравнений \[ \begin{cases} \left|x\cos a+y\sin a-\dfrac{3}{\sqrt{2}}\right|+|y\cos a-x\sin a|=\dfrac{3}{\sqrt{2}},\\ |x-y|+|x+y|=8 \end{cases} \] имеет единственное решение?
Ответ:
Решение:
При каких значениях $a$ система уравнений \[ \begin{cases} (x^2+y^2-25)(4x+3y-25)=0,\\ (x-6\cos a)^2+(y-6\sin a)^2=1 \end{cases} \] имеет единственное решение?
Ответ:
Решение:
Найти все значения $a$, при каждом из которых система \[\begin{cases}|y|+|y-x|\leqslant a-|x-1|,\\ (y-4)(y+3)\geqslant(4-x)(3+x)\end{cases}\] имеет ровно два решения.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система \[ \begin{cases} 1-\sqrt{|x-1|}=\sqrt{3|y|}, \\ x^2+9y^2+a=2x-1 \end{cases} \] имеет ровно четыре различных решения.
Ответ:
Решение:
Определить количество решений системы \[ \begin{cases} (3-x)\cdot|x+1|=y,\\ y-6=a\cdot(x-3) \end{cases} \] в зависимости от параметра $a$.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых система \[ \begin{cases} (ay-ax+2)(4y-3|x-a|-x+5a)=0,\\ \sqrt{x^2y^2}=4a \end{cases} \] имеет шесть различных решений.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых система \[ \begin{cases} (ay-ax+2)(4y-3|x-a|-x+5a)=0,\\ \left(\log_a x^2+\log_a y^2-2\right)\log_2 a^2=8 \end{cases} \] имеет шесть различных решений.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых система \[ \begin{cases} |x-a|+|y-a|+|a-x+1|+|a-y+1|\leqslant 2,\\ y+2\left|x^2-2x-3\right|=6 \end{cases} \] имеет единственное решение.
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметра $\alpha$, $-\pi\lt \alpha\lt \pi$, при которых система уравнений \[ \begin{cases} (1-4x^2-4y^2)(4x^2+15-12y)=0,\\ y\cos\alpha+x\sin\alpha=\dfrac12 \end{cases} \] имеет ровно три решения.
Ответ:
Решение:
Найти все значения $a$, при которых система уравнений \[\begin{cases}|x|+2|y|+|2y-3x|=12,\\ x^2+y^2=a\end{cases}\] имеет ровно два действительных решения.
Ответ:
Решение:
Для каждого значения параметра $a\in[0,\pi]$ найти максимальное значение $g(a)$ функции \[f(x,y)=x(x+2)+y(y-4)\] на множестве точек $(x,y)$ таких, что $x^2+y^2\leqslant2(x\cos a+y\sin a)$. Найти значения параметра $a\in[0,\pi]$, при которых $g(a)$ принимает наименьшее значение.
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметра $a$, при которых наибольшее значение величины $x^2+y$ на множестве пар действительных чисел $(x;y)$, удовлетворяющих одновременно двум неравенствам $y\leqslant\sqrt{1-x^2}$ и $y+|x-a|\leqslant1$, будет максимально возможным. Найти это максимально возможное значение.
Ответ:
Решение: