Рассеянный Ученый проводит собеседование со Студентом.
— Ну-с, молодой человек, проверим вашу везучесть. Я дам Вам число 1 и еще два совершенно случайных и независимых друг от друга числа из отрезка $[0;\,a]$, где $a\gt 0$. Я возьму Вас ассистентом, только если Вы построите треугольник, длины сторон которого равны трем имеющимся у Вас числам. Так и быть, число $a$ Вы вольны выбрать сами.
Какое число должен назвать Студент, чтобы вероятность существования такого треугольника оказалась наибольшей?
— Ну-с, молодой человек, проверим вашу везучесть. Я дам Вам число 1 и еще два совершенно случайных и независимых друг от друга числа из отрезка $[0;\,a]$, где $a\gt 0$. Я возьму Вас ассистентом, только если Вы построите треугольник, длины сторон которого равны трем имеющимся у Вас числам. Так и быть, число $a$ Вы вольны выбрать сами.
Какое число должен назвать Студент, чтобы вероятность существования такого треугольника оказалась наибольшей?
Ответ:
Решение:
Ломаная на плоскости составлена из трех одинаковых отрезков. Ее крайние звенья случайным образом повернуты относительно центрального звена. Найдите вероятность того, что крайние звенья пересекаются.
Ответ:
Решение:
На каменистой дороге Рассеянный Ученый проколол колесо автомобиля сразу в трех совершенно случайных и независимых точках. Серьезный ремонт невозможен, но, к счастью, в багажнике нашлась старая довольно рваная колесная камера. Ученый сумел вырезать из нее большой неповрежденный кусок, которым можно накрыть пробитую шину изнутри на $\frac{2}{3}$ ее длины или даже чуть больше.
а) Докажите, что Ученый сможет разместить вырезанный кусок камеры внутри шины так, что все три прокола будут закрыты.
б) Какова вероятность того, что шину можно разрезать на три равные по длине части, на каждой из которых будет ровно один прокол? (Под разрезом здесь понимается разрез полуплоскостью, проходящей через ось колеса, то есть шину следует представлять как окружность, разрезанную на три равные дуги.)
а) Докажите, что Ученый сможет разместить вырезанный кусок камеры внутри шины так, что все три прокола будут закрыты.
б) Какова вероятность того, что шину можно разрезать на три равные по длине части, на каждой из которых будет ровно один прокол? (Под разрезом здесь понимается разрез полуплоскостью, проходящей через ось колеса, то есть шину следует представлять как окружность, разрезанную на три равные дуги.)
Ответ:
Решение:
Башня в замке короля Артура увенчана крышей, которая представляет собой треугольную пирамиду, у которой все плоские углы при вершине — прямые. Три ската крыши покрашены в разные цвета. Красный скат крыши наклонен к горизонтали под углом $\alpha$, а синий — под углом $\beta$. Найдите вероятность того, что дождевая капля, вертикально упавшая на крышу в случайном месте, упала на зеленый скат.
Ответ:
Решение:
В центре прямоугольного биллиардного стола длиной 3 м и шириной 1 м стоит биллиардный шарик. По нему ударяют кием в случайном направлении. После удара шар останавливается, пройдя ровно 2 м. Найдите ожидаемое число отражений от бортиков стола.
Ответ:
Решение:
На окружности случайно и независимо друг от друга выбирают три точки. Какова вероятность того, что у треугольника с вершинами в этих точках все углы окажутся меньше чем $120^\circ$?
Ответ:
Решение:
В абсолютно случайную точку абсолютно квадратного леса $10\times 10$ км на парашюте спускается шпион с радиопередатчиком. Приземлившись, он немедленно начинает радиопередачу, сообщая противнику важные сведения.
Во всех четырёх углах леса расположены радиопеленгаторы, каждый из которых обнаруживает работу передатчика на расстоянии не более 10 км. Чтобы контрразведка точно определила координаты работающего передатчика, нужно, чтобы передатчик был обнаружен хотя бы двумя пеленгаторами.
Шпиону повезло: один из радиопеленгаторов сегодня не работает. Какова вероятность того, что контрразведчики не смогут определить координаты места, где приземлился шпион?
Во всех четырёх углах леса расположены радиопеленгаторы, каждый из которых обнаруживает работу передатчика на расстоянии не более 10 км. Чтобы контрразведка точно определила координаты работающего передатчика, нужно, чтобы передатчик был обнаружен хотя бы двумя пеленгаторами.
Шпиону повезло: один из радиопеленгаторов сегодня не работает. Какова вероятность того, что контрразведчики не смогут определить координаты места, где приземлился шпион?
Ответ:
Решение:
В квадрате с вершиной $A$ выбирается случайная точка $B$ и закрашивается прямоугольник с диагональю $AB$, две стороны которого лежат на сторонах квадрата. Рассмотрим событие $H$ «площадь закрашенного прямоугольника больше половины площади квадрата». Докажите, что $$0{,}125\lt \mathrm{P}(H)\lt 0{,}172.$$
Ответ:
Решение:
В квадрате с вершиной $A$ выбирается случайная точка $B$ и закрашивается прямоугольник с диагональю $AB$, две стороны которого лежат на сторонах квадрата. Рассмотрим событие $G$ «площадь закрашенного прямоугольника меньше половины площади квадрата». Докажите, что $$0{,}828\lt \mathrm{P}(G)\lt 0{,}875.$$
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $40^\circ$. Треугольник случайным образом бросают на стол. Найдите вероятность того, что вершина $A$ окажется восточнее двух других вершин.
Ответ:
Решение:
В бумажном квадрате случайным образом выбирается точка $O$. Затем квадрат сгибают так, чтобы каждая вершина наложилась на точку $O$. На рисунке показана одна из возможных схем складывания.
Найдите математическое ожидание числа сторон появившегося многоугольника.
Найдите математическое ожидание числа сторон появившегося многоугольника.
Ответ:
Решение:
Верхняя сторона бумажного квадрата белая, а нижняя — красная. В квадрате случайным образом выбирается точка $F$. Затем квадрат сгибают так, чтобы одна случайно выбранная вершина наложилась на точку $F$. Найдите математическое ожидание числа сторон появившегося красного многоугольника.
Ответ:
Решение:
У Рассеянного Ученого было число 1. При помощи генератора случайных чисел независимо друг от друга Ученый выбирает еще два случайных действительных числа из отрезка $[0;\,3]$. Какова вероятность того, что можно будет построить треугольник, длины сторон которого равны трем имеющимся у Ученого числам?
Ответ:
Решение:
Внутри треугольника $ABC$ выбирают случайную точку $M$. Какова вероятность, что площадь одного из треугольников $ABM$, $BCM$ и $CAM$ окажется больше суммы площадей двух других?
Ответ:
Решение:
На стене висит мишень, состоящая из пяти зон: центральный круг (яблочко) и четыре разноцветных кольца (см. рисунок). Ширина каждого кольца равна радиусу яблочка. Известно, что число очков за попадание в каждую зону обратно пропорционально вероятности попасть в эту зону и что яблочко стоит 315 очков. Сколько очков стоит попадание в синюю (предпоследнюю) зону?
Ответ:
Решение:
Митя собирается согнуть квадратный лист бумаги $ABCD$. Митя называет сгиб красивым, если сторона $AB$ пересекает сторону $CD$ и четыре получившихся прямоугольных треугольника равны.
Перед этим Ваня выбирает на листе случайную точку $F$. Найдите вероятность того, что Митя сможет сделать красивый сгиб, проходящий через точку $F$.
Перед этим Ваня выбирает на листе случайную точку $F$. Найдите вероятность того, что Митя сможет сделать красивый сгиб, проходящий через точку $F$.
Ответ:
Решение:
На часах две стрелки: часовая и минутная. В случайный момент времени часы остановились. Найдите вероятность того, что угол между стрелками на остановившихся часах острый.
Ответ:
Решение:
Точки $P$, $Q$ расположены на сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ так, что $AP:PB=2:1$, $AQ:QC=1:3$. Точка $M$ выбрана на стороне $BC$ совершенно случайно. Найти вероятность того, что площадь треугольника $ABC$ превосходит площадь треугольника $PQM$ не более, чем в три раза. Найти математическое ожидание случайной величины — отношения площадей треугольников $PQM$ и $ABC$.
Ответ:
Решение:
На боковых ребрах $DA$ и $DB$ правильной треугольной пирамиды $ABCD$ совершенно случайно взяты точки $M$ и $N$. Найти вероятность того, что площадь боковой поверхности пирамиды $MNCD$ с вершиной в точке $D$ составляет не более половины площади боковой поверхности пирамиды $ABCD$.
Ответ:
Решение:
На сторонах $BA$ и $BC$ треугольника $ABC$ совершенно случайно взяты точки $M$ и $N$. Найти вероятность того, что площадь треугольника $BMN$ окажется не больше половины площади треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение: