Ответ:
Решение:
Вычислите \[ \left[\sqrt{45-\sqrt{2023}}-\sqrt{45+\sqrt{2023}}\right], \] где $[t]$ — это целая часть числа $t$ (т. е. наибольшее целое число, не превосходящее $t$).
Ответ:
Решение:
Сравните число \[ \sqrt{\left|8\sqrt3-16\right|}-\sqrt{8\sqrt3+16} \] и наименьший корень уравнения $4x^2+21x+17=0$.
Ответ:
Решение:
Вычислить $\frac{1580\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}-x}$, где $x=\frac12\left(\sqrt{\frac{2016}{1580}}-\sqrt{\frac{1580}{2016}}\right)$.
Ответ:
Решение:
Доказать формулу «сложного корня» \[ \sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{\dfrac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}} \] и с ее помощью вычислить величину $\left(\dfrac{\sqrt{13+\sqrt{48}}-1}{\sqrt{7-\sqrt{24}}+1}\right)^2$.
Ответ:
Решение:
Какое из чисел больше: \[ \underbrace{\sqrt{17\sqrt{13\sqrt{17\sqrt{13\sqrt{17\ldots}}}}}}_{2018\text{ знаков корня}}\quad\text{или}\quad 17\sqrt[3]{\dfrac{13}{17}}\,? \]
Ответ:
Решение:
Найдите целую часть числа $a+\dfrac{9}{b}$, где $a$ и $b$ — соответственно целая и дробная часть числа $\sqrt{76-42\sqrt3}$.
Ответ:
Решение:
Число $x=2^1+2^0+2^{-1}+2^{-2}+\ldots+2^{-2021}$. Найдите значение выражения \[ \sqrt{2x+4\sqrt{2x-4}}+\sqrt{2x-4\sqrt{2x-4}}. \]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Числа $a$, $b$ и $c$ удовлетворяют равенству $\sqrt a=\sqrt b+\sqrt c$. Найдите $a$, если $b=52-30\sqrt3$ и $c=a-2$.
Ответ:
Решение:
Докажите, что число $\bigl(\sqrt3+\sqrt5+\sqrt7\bigr)^{2021}$ представимо в виде \[ n\sqrt3+m\sqrt5+k\sqrt7+l\sqrt{3\cdot5\cdot7}, \] где $n$, $m$, $k$, $l$ — натуральные числа, и при этом $1-10^{-500}\lt \sqrt{35}\,\dfrac{l}{n}\lt 1$.
Ответ:
Решение:
На каком из пяти интервалов, на которые разбивают числовую ось четыре точки \[ x^5\lt y^8\lt y^3\lt x^6, \] лежит число $0$?
Ответ:
Решение:
Представьте в виде несократимой дроби \[ 7\frac{19}{2015}\times6\frac{19}{2016}-13\frac{1996}{2015}\times2\frac{1997}{2016}-9\times\frac{19}{2015}. \]
Ответ:
Решение:
Известно, что \[ \dfrac{1}{x-y}+\dfrac{1}{y-z}+\dfrac{1}{z-x}=1{,}5. \] Какое наибольшее значение может принимать сумма \[ \dfrac{1}{(x-y)^2}+\dfrac{1}{(y-z)^2}+\dfrac{1}{(z-x)^2}\,? \]
Ответ:
Решение:
Положительные числа $x$ и $y$ таковы, что значение выражения \[ K=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{2}{xy} \] не изменяется, если $x$ уменьшить на 1, а $y$ — увеличить на 1. Найдите все возможные значения выражения $M=x^3-y^3-3xy$.
Ответ:
Решение:
Числа $a$, $b$, $c$ с нулевой суммой таковы, что \[ \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=49. \] Какое наименьшее значение может принимать выражение $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$?
Ответ:
Решение: