Пусть $P(x)$ — многочлен степени $n\geqslant2$ с неотрицательными коэффициентами, а $a$, $b$ и $c$ — длины сторон некоторого треугольника. Докажите, что числа $\sqrt[n]{P(a)}$, $\sqrt[n]{P(b)}$ и $\sqrt[n]{P(c)}$ также являются длинами сторон некоторого треугольника.
Ответ:
Решение:
Пусть $P(x)$ — многочлен степени $n\geqslant2$ с неотрицательными коэффициентами, а $a$, $b$ и $c$ — длины сторон некоторого остроугольного треугольника. Докажите, что числа $\sqrt[n]{P(a)}$, $\sqrt[n]{P(b)}$ и $\sqrt[n]{P(c)}$ также являются длинами сторон некоторого остроугольного треугольника.
Ответ:
Решение:
Числа $a$, $b$, $c$ и $d$ таковы, что $a^2+b^2+c^2+d^2=4$. Докажите, что $(2+a)(2+b)\geqslant cd$.
Ответ:
Решение:
Положительные числа $a$, $b$, $c$ удовлетворяют соотношению $ab+bc+ca=1$. Докажите, что \[ \sqrt{a+\dfrac{1}{a}}+\sqrt{b+\dfrac{1}{b}}+\sqrt{c+\dfrac{1}{c}}\geqslant 2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right). \]
Ответ:
Решение:
Действительные числа $a$, $b$, $c$, $d$, по модулю большие единицы, удовлетворяют соотношению \[abc+abd+acd+bcd+a+b+c+d=0.\] Докажите, что \[\frac{1}{a-1}+\frac{1}{b-1}+\frac{1}{c-1}+\frac{1}{d-1}\gt 0.\]
Ответ:
Решение:
Положительные числа $a$, $b$, $c$, $d$ таковы, что \[(a+b+2c)^2\gt d,\quad (b+c+2d)^2\gt a,\quad (c+d+2a)^2\gt b,\quad (d+a+2b)^2\gt c.\] Докажите, что $a+b+c+d\gt 1/4$.
Ответ:
Решение:
Палочка разломана на 15 частей так, что ни из каких трёх частей нельзя сложить треугольник. Докажите, что среди частей есть такая, которая длиннее трети исходной палочки.
Ответ:
Решение:
Вещественные числа $x$, $y$, $z$ таковы, что \[ 2x\gt y^2+z^2,\quad 2y\gt z^2+x^2,\quad 2z\gt x^2+y^2. \] Докажите, что каждое из чисел $x$, $y$, $z$ меньше 1.
Ответ:
Решение:
Ненулевые числа $x$ и $y$ удовлетворяют неравенствам $x^2-x\gt y^2$ и $y^2-y\gt x^2$. Какой знак может иметь произведение $xy$?
Ответ:
Решение:
Ненулевые числа $x$ и $y$ удовлетворяют неравенствам $x^4-y^4\gt x$ и $y^4-x^4\gt y$. Какой знак может иметь произведение $xy$ (укажите все возможности)?
Ответ:
Решение:
Ненулевые числа $x$ и $y$ удовлетворяют неравенствам $x^4-y^4\gt x$ и $y^4-x^4\gt y$. Может ли произведение $xy$ равняться отрицательному числу?
Ответ:
Решение:
Петя разложил карточки с числами от 1 до 10 в ряд в каком-то порядке, затем для каждой пары соседних карточек записал число $\frac{1}{x+y}$, где $x$ и $y$ — числа на этих карточках. Докажите, что сумма записанных Петей чисел больше, чем 0,75.
Ответ:
Решение:
Дано положительное число $a\neq 1$. Докажите, что последовательность $x_1$, $x_2$, $\ldots$, где \[x_n=2^n\left(\sqrt[2^n]{a}-1\right),\] убывает.
Ответ:
Решение:
Даны действительные числа $a$ и $b$, причём $b\gt a\gt 1$. Пусть \[x_n=2^n\left(\sqrt[2^n]{b}-\sqrt[2^n]{a}\right).\] Докажите, что последовательность $x_1$, $x_2$, $\ldots$ убывает.
Ответ:
Решение:
Положительные числа $x$, $y$ таковы, что $x^5-y^3\geqslant 2x$. Докажите, что $x^3\geqslant 2y$.
Ответ:
Решение:
Существует ли треугольник, для сторон $x$, $y$, $z$ которого выполнено соотношение \[ x^3+y^3+z^3=(x+y)(y+z)(z+x)\,? \]
Ответ:
Решение:
Положительные числа $x$, $y$ и $z$ удовлетворяют условию $xyz\geqslant xy+yz+zx$. Докажите неравенство \[ \sqrt{xyz}\geqslant\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}. \]
Ответ:
Решение:
Числа $a$, $b$, $c$ таковы, что \[ a^2+b^2\gt (a+b)^2\quad\text{и}\quad b^2+c^2\gt (b+c)^2. \] Что больше: $c^4+a^4$ или $(a+c)^4$?
Ответ:
Решение:
Пять положительных чисел таковы, что сумма их кубов меньше суммы их квадратов. Докажите, что каждое из этих чисел меньше 2.
Ответ:
Решение:
Различные неотрицательные числа $a$, $b$, $c$ таковы, что \[a^2+b^2=c^2+ab.\] Докажите, что $c^2+ab\lt ac+bc$.
Ответ:
Решение: