График $G_1$ квадратного трехчлена \[ y=px^2+qx+r \] с вещественными коэффициентами пересекает график $G_2$ квадратного трехчлена $y=x^2$ в точках $A$ и $B$. Касательные в точках $A$ и $B$ к графику $G_2$ пересекаются в точке $C$. Оказалось, что точка $C$ лежит на графике $G_1$. Найдите все возможные значения $p$.
Ответ:
Решение:
Пусть $P_1(x)$ и $P_2(x)$ — приведённые квадратные трёхчлены, а точки $A_1$ и $A_2$ — соответственно вершины парабол $y=P_1(x)$ и $y=P_2(x)$. Через $m(g(x))$ будем обозначать наименьшее значение функции $g(x)$. Известно, что разности $m(P_1(P_2(x)))-m(P_1(x))$ и $m(P_2(P_1(x)))-m(P_2(x))$ оказались равными положительными числами. Найдите угол между прямой $A_1A_2$ и прямой, содержащей ось $Ox$.
Ответ:
Решение:
На оси $Ox$ отметили точки $0, 1, 2, \ldots, 100$ и нарисовали графики 200 различных квадратичных функций, каждый из которых проходит через две из отмеченных точек и касается прямой $y=-1$. Для каждой пары графиков Олег написал на доске число, равное количеству общих точек этих графиков. После чего он сложил все 19900 чисел, написанных на доске. Мог ли он получить число 39699?
Ответ:
Решение:
Графики трёх функций $y=ax+a$, $y=bx+b$ и $y=cx+d$ имеют общую точку, причём $a\neq b$. Обязательно ли $c=d$? Ответ обоснуйте.
Ответ:
Решение:
Точки пересечения графиков четырех функций, заданных формулами $y=kx+b$, $y=kx-b$, $y=mx+b$ и $y=mx-b$, являются вершинами четырёхугольника. Найдите координаты точки пересечения его диагоналей.
Ответ:
Решение:
Дима начертил графики четырёх линейных функций на координатной плоскости, но забыл отметить единичные отрезки. Когда он переписывал задание в тетрадь, то отвлекся и не дописал уравнения, задающие функции под номерами 3 и 4. Найдите эти уравнения. Ответ обоснуйте.
Ответ:
Решение:
Часть графика линейной функции, расположенная во второй координатной четверти, вместе с осями координат образует треугольник. Во сколько раз изменится его площадь, если угловой коэффициент функции в два раза увеличить, а свободный член в два раза уменьшить?
Ответ:
Решение:
Вася задумал три вещественных числа $a$, $b$, $c$. Оказалось, что три прямые, заданные уравнениями \[ y=ax+2,\quad y=bx+5\quad\text{и}\quad y=cx+8, \] пересекаются в одной точке. Найдите значение $b$, если известно, что $a+c=67$.
Ответ:
Решение:
Два графика линейных функций пересекаются при $x=2$. При $x=8$ значения отличаются на 8. При $x=20$ значение одной из функций равно 100. Чему может быть равно значение другой функции?
Ответ:
Решение:
Графики функций \[y=k_1x+b_1,\quad y=k_2x+b_2,\quad y=k_3x+b_3\] являются продолжениями сторон равностороннего треугольника. Докажите, что среди чисел $k_1$, $k_2$, $k_3$ есть такое, которое не меньше $1/2$.
Ответ:
Решение:
Докажите, что если прямые\[y=kx+m,\quad y=mx+n\quad\text{и}\quad y=nx+k\]на координатной плоскости имеют общую точку, то они совпадают.
Ответ:
Решение:
Графики линейных функций $y=ax+c$, $y=ax+d$, $y=bx+e$, $y=bx+f$ пересекаются в вершинах квадрата $P$. Могут ли точки $K(a,c)$, $L(a,d)$, $M(b,e)$, $N(b,f)$ располагаться в вершинах квадрата, равного квадрату $P$?
Ответ:
Решение:
Парабола $y=20x^2+19x$ и прямая $y=20x+19$ пересекаются в двух точках. Верно ли, что график функции $y=20x^3+19x^2$ проходит через эти же две точки?
Ответ:
Решение:
Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество $A$, состоящее из действительных чисел, полным, если для любых действительных $a$ и $b$ (не обязательно различных и не обязательно лежащих в $A$), при которых $a+b$ лежит в $A$, число $ab$ также лежит в $A$. Найдите все полные множества действительных чисел.
Ответ:
Решение:
Функция $f(x)$, заданная на всей числовой оси, при всех действительных $x$ и $y$ удовлетворяет условию \[f(x)+f(y)=2f\left(\frac{x+y}{2}\right)f\left(\frac{x-y}{2}\right).\] Верно ли, что функция $f(x)$ обязательно чётная?
Ответ:
Решение:
В каждой точке $A$ плоскости стоит вещественное число $f(A)$. Известно, что если $M$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$, то $f(M)=f(A)+f(B)+f(C)$. Докажите, что $f(A)=0$ для всех точек $A$.
Ответ:
Решение:
Функция $f(x)$ определена на множестве натуральных чисел и принимает натуральные значения. Известно, что для любого натурального $n$ выполнено \[f(n+1)\gt f(n)\quad\text{и}\quad f\bigl(f(n)\bigr)=3n.\]
1. Найдите $f(10)$.
2. Найдите $f(2024)$.
1. Найдите $f(10)$.
2. Найдите $f(2024)$.
Ответ:
Решение:
Многочлен $P(x)$ таков, что многочлены $P(P(x))$ и $P(P(P(x)))$ строго монотонны на всей вещественной оси. Докажите, что $P(x)$ тоже строго монотонен на всей вещественной оси.
Ответ:
Решение: