Из 27 игральных кубиков сложен куб.
а) Найдите вероятность того, что на поверхности куба оказалось ровно 25 шестерок.
б) Найдите вероятность того, что на поверхности куба оказалась хотя бы одна единица.
в) Найдите математическое ожидание числа шестёрок, смотрящих наружу.
г) Найдите математическое ожидание суммы чисел, которые оказались на поверхности куба.
д) Найдите математическое ожидание случайной величины: «Число различных цифр, оказавшихся на поверхности куба».
а) Найдите вероятность того, что на поверхности куба оказалось ровно 25 шестерок.
б) Найдите вероятность того, что на поверхности куба оказалась хотя бы одна единица.
в) Найдите математическое ожидание числа шестёрок, смотрящих наружу.
г) Найдите математическое ожидание суммы чисел, которые оказались на поверхности куба.
д) Найдите математическое ожидание случайной величины: «Число различных цифр, оказавшихся на поверхности куба».
Ответ:
Решение:
В игре «Что? Где? Когда?» разыгрываются 13 конвертов с вопросами от телезрителей. Конверты выбираются по очереди в случайном порядке с помощью волчка. Если знатоки отвечают верно, зарабатывают очко, если неверно — одно очко достается телезрителям. Игра оканчивается, как только одна из команд набрала 6 очков.
Предположим, что силы команд Знатоков и Телезрителей равны.
а) Найдите математическое ожидание числа очков, набранных командой Знатоков за 100 игр.
б) Найдите вероятность того, что в следующей игре конверт номер 5 будет разыгран.
Предположим, что силы команд Знатоков и Телезрителей равны.
а) Найдите математическое ожидание числа очков, набранных командой Знатоков за 100 игр.
б) Найдите вероятность того, что в следующей игре конверт номер 5 будет разыгран.
Ответ:
Решение:
Вася купил $n$ пар одинаковых носков. В течение $n$ дней Вася не знал проблем: каждое утро брал из шкафа новую пару и носил ее целый день. Через $n$ дней Васина мама постирала все носки в стиральной машине и разложила их по парам, как получилось, поскольку, повторим, носки одинаковые. Назовем пару носков удачной, если оба носка в этой паре были на Васе в один и тот же день.
а) Найти вероятность того, что все получившиеся пары удачные.
б) Доказать, что матожидание числа удачных пар больше 0,5.
а) Найти вероятность того, что все получившиеся пары удачные.
б) Доказать, что матожидание числа удачных пар больше 0,5.
Ответ:
Решение:
На сушке в случайном порядке (как достали из стиральной машины) висит $n$ носков. Среди них — два любимых носка Рассеянного Учёного. Носки загорожены сохнущей простыней, поэтому Учёный их не видит, и достает по одному носку на ощупь. Найдите математическое ожидание числа носков, снятых Ученым к моменту, когда у него окажутся оба любимых носка.
Ответ:
Решение:
На рисунке показано платежное поручение на оплату электричества некоторой энергосбытовой компании.
Каждый месяц клиент передаёт компании показания трёхтарифного счётчика, установленного в квартире. Из показаний за текущий месяц вычитаются соответствующие показания за прошлый месяц, и получается фактический расход за месяц по каждой из трёх тарифных зон (пик, ночь, полупик). Затем расход по каждой зоне умножается на цену одного киловатт-часа в этой зоне. Складывая полученные суммы, клиент получает общую сумму оплаты за месяц. В данном примере клиент заплатит 660 р. 72 коп.
Компания тоже ведет учёт расхода и оплаты электроэнергии, пользуясь данными, полученными от клиента. Проблема состоит в том, что компания иногда путает полученные шесть чисел, переставляя их в произвольном порядке, правда, следит за тем, чтобы текущее показание оставалось больше, чем предыдущее. В результате расчёт компании может оказаться ошибочным. Если компания считает, что клиент должен больше, чем он заплатил, компания требует доплатить разность.
Пользуясь данными изображенной квитанции, найдите:
а) максимально возможную сумму доплаты за март 2013 года, которую компания потребует у клиента;
б) математическое ожидание разности между суммой, которую насчитает компания, и суммой, которую заплатил клиент.
Каждый месяц клиент передаёт компании показания трёхтарифного счётчика, установленного в квартире. Из показаний за текущий месяц вычитаются соответствующие показания за прошлый месяц, и получается фактический расход за месяц по каждой из трёх тарифных зон (пик, ночь, полупик). Затем расход по каждой зоне умножается на цену одного киловатт-часа в этой зоне. Складывая полученные суммы, клиент получает общую сумму оплаты за месяц. В данном примере клиент заплатит 660 р. 72 коп.
Компания тоже ведет учёт расхода и оплаты электроэнергии, пользуясь данными, полученными от клиента. Проблема состоит в том, что компания иногда путает полученные шесть чисел, переставляя их в произвольном порядке, правда, следит за тем, чтобы текущее показание оставалось больше, чем предыдущее. В результате расчёт компании может оказаться ошибочным. Если компания считает, что клиент должен больше, чем он заплатил, компания требует доплатить разность.
Пользуясь данными изображенной квитанции, найдите:
а) максимально возможную сумму доплаты за март 2013 года, которую компания потребует у клиента;
б) математическое ожидание разности между суммой, которую насчитает компания, и суммой, которую заплатил клиент.
Ответ:
Решение:
В страшную грозу по верёвочной лестнице цепочкой поднимаются $n$ гномиков. Если вдруг случится удар грома, то от испуга каждый гномик, независимо от других, может упасть с вероятностью $p$ ($0\lt p\lt 1$). Если гномик падает, то он сшибает и всех гномиков, которые находятся ниже. Найдите:
а) Вероятность того, что упадёт ровно $k$ гномиков.
б) Математическое ожидание числа упавших гномиков.
а) Вероятность того, что упадёт ровно $k$ гномиков.
б) Математическое ожидание числа упавших гномиков.
Ответ:
Решение:
Если один человек тратит в очереди одну минуту на ожидание, будем говорить, что бесцельно затрачена одна человеко-минута. В очереди в банке стоит восемь человек, из них пятеро планируют простые операции, занимающие 1 минуту, а остальные планируют длительные операции, занимающие 5 минут. Найдите:
а) наименьшее и наибольшее возможное суммарное количество бесцельно затраченных человеко-минут;
б) математическое ожидание количества бесцельно затраченных человеко-минут, при условии, что клиенты встают в очередь в случайном порядке.
а) наименьшее и наибольшее возможное суммарное количество бесцельно затраченных человеко-минут;
б) математическое ожидание количества бесцельно затраченных человеко-минут, при условии, что клиенты встают в очередь в случайном порядке.
Ответ:
Решение:
Каждый день кот Базилио и лиса Алиса обходят все 20 дворов столицы Страны Дураков, и в каждом дворе им либо дают, либо не дают один золотой с вероятностью $\frac{1}{2}$. Если к концу дня число выпрошенных золотых чётное, то лиса и кот делят их поровну. Если же оно нечётно, то они делят все монеты, кроме одной, поровну, а последнюю кот Базилио забирает себе как коммерческий директор предприятия. Найдите математическое ожидание числа монет, полученных котом за день.
Ответ:
Решение:
Магазин «Крокус и Кактус» объявил акцию: если покупатель берет три товара, то самый дешевый из них ему достается бесплатно. Покупатель взял десять товаров, все разной цены: за 100 рублей, за 200 рублей, за 300 рублей и так далее — самый дорогой товар стоил 1000 рублей.
а) Какова наименьшая сумма, которую покупатель заплатит, если удачно разложит свои покупки перед кассиром?
б) Какова наибольшая сумма, которую покупатель заплатит, если неудачно разложит покупки?
в) Найдите математическое ожидание суммы, которую покупатель заплатит, если разложит покупки случайным образом.
а) Какова наименьшая сумма, которую покупатель заплатит, если удачно разложит свои покупки перед кассиром?
б) Какова наибольшая сумма, которую покупатель заплатит, если неудачно разложит покупки?
в) Найдите математическое ожидание суммы, которую покупатель заплатит, если разложит покупки случайным образом.
Ответ:
Решение:
Последовательность состоит из $k$ нулей и $m$ единиц, расположенных в случайном порядке. Разобьем последовательность на чередующиеся группы нулей и единиц (группа — участок, состоящий из всех одинаковых цифр, стоящих подряд). Общее число групп — случайная величина. Найдите ее математическое ожидание.
Например, последовательность 00011011100 состоит из пяти групп 000, 11, 0, 111 и 00.
Например, последовательность 00011011100 состоит из пяти групп 000, 11, 0, 111 и 00.
Ответ:
Решение:
На заводе имени матроса Железняка изготавливают прямоугольники длиной 2 м и шириной 1 м. Длину отмеряет рабочий Иванов, а ширину, независимо от Иванова, отмеряет рабочий Петров. Средняя ошибка у обоих нулевая, но Иванов допускает стандартную ошибку измерения (стандартное отклонение длины) 3 мм, а Петров допускает стандартную ошибку 2 мм.
а) Найдите математическое ожидание площади получившегося прямоугольника.
б) Найдите стандартное отклонение площади получившегося прямоугольника в квадратных сантиметрах.
а) Найдите математическое ожидание площади получившегося прямоугольника.
б) Найдите стандартное отклонение площади получившегося прямоугольника в квадратных сантиметрах.
Ответ:
Решение:
На знакомом нам заводе вырезают металлические диски диаметром 1 м. Известно, что диск диаметром ровно 1 м весит ровно 100 кг. При изготовлении возникает ошибка измерения, и поэтому стандартное отклонение радиуса составляет 10 мм. Инженер Сидоров считает, что стопка из 100 дисков в среднем будет весить 10000 кг. На сколько ошибается инженер Сидоров?
Ответ:
Решение:
В турнире участвуют 100 борцов, все разной силы. В любом поединке двух борцов всегда побеждает тот, кто сильнее. В первом туре борцы разбились на случайные пары и провели поединки. Для второго тура борцы ещё раз разбиваются на случайные пары соперников (может случиться, что какие-то пары повторятся). Приз получает тот, кто выиграет оба поединка. Найдите:
а) наименьшее возможное число призёров турнира;
б) математическое ожидание числа призеров турнира.
а) наименьшее возможное число призёров турнира;
б) математическое ожидание числа призеров турнира.
Ответ:
Решение:
На антарктической станции $n$ полярников, все разного возраста. С вероятностью $p$ между каждыми двумя полярниками завязываются дружеские отношения, независимо от других симпатий или антипатий. Когда зимовка заканчивается и наступает пора разъезжаться по домам, в каждой паре друзей старший даёт младшему дружеский совет. Найдите математическое ожидание числа тех, кто так и не получил ни одного дружеского совета.
Ответ:
Решение:
Имеется $n$ случайных векторов вида $(y_1, y_2, y_3)$, где ровно одна случайная координата равна 1, остальные равны 0. Их складывают. Получается случайный вектор $\vec{a}$ с координатами $(Y_1, Y_2, Y_3)$.
а) Найдите математическое ожидание случайной величины $\vec{a}^{\,2}$.
б) Докажите, что $|\vec{a}|\geqslant\frac{n}{\sqrt{3}}$.
а) Найдите математическое ожидание случайной величины $\vec{a}^{\,2}$.
б) Докажите, что $|\vec{a}|\geqslant\frac{n}{\sqrt{3}}$.
Ответ:
Решение:
Рассеянный Учёный пошёл на рыбалку. На своём заветном месте он забросил две свои удочки и стал ждать поклёвки. Учёный давно и совершенно точно подсчитал, что на первой удочке от заброса до поклёвки в среднем проходит две минуты, а на второй — три минуты, при этом время ожидания не зависит ни от каких предыдущих событий. Найдите математическое ожидание случайной величины «время ожидания первой поклёвки».
Ответ:
Решение:
Рассеянный Учёный пошёл на рыбалку. На своём заветном месте он забросил две свои удочки и стал ждать поклёвки. Учёный давно и совершенно точно подсчитал, что на первой удочке от заброса до поклёвки в среднем проходит одна минута, а на второй — пять минут, при этом время ожидания не зависит ни от каких предыдущих событий. Найдите математическое ожидание случайной величины «время ожидания первой поклёвки».
Ответ:
Решение:
Иван-Царевич учится стрелять из лука. Он положил в колчан 14 стрел и пошёл стрелять по шишкам в лес. Он сбивает шишку с вероятностью 0,1, и за каждую сбитую шишку Царевна-Лягушка дает ему ещё 3 стрелы. Стреляет Иван-Царевич до тех пор, пока стрелы у него не кончатся. Найдите математическое ожидание количества выстрелов, которые сделает Иван-Царевич.
Ответ:
Решение:
На три случайных поля шахматной доски поставили три ладьи. Найдите математическое ожидание числа полей на доске, которые находятся под боем хотя бы одной ладьи. Считается, что если ладья стоит на каком-то поле, то она сама это поле не бьёт, но другая ладья может его бить.
Ответ:
Решение:
У Рассеянного Учёного в лаборатории стоит ящик, в котором 112 гаек с правой резьбой и 7 таких же с виду гаек с левой резьбой. Для создания уникальной установки Учёному потребовалось 5 гаек с левой резьбой. Он по очереди вынимает наугад гайки из ящика до тех пор, пока ему не попадутся 5 нужных гаек. Найдите математическое ожидание числа вынутых к этому моменту гаек.
Ответ:
Решение: