Петр Иванович, еще 49 мужчин и 50 женщин в случайном порядке рассаживаются вокруг круглого стола. Назовем мужчину довольным, если рядом с ним сидит женщина. Найдите:
а) вероятность того, что Петр Иванович доволен;
б) математическое ожидание числа довольных мужчин.
а) вероятность того, что Петр Иванович доволен;
б) математическое ожидание числа довольных мужчин.
Ответ:
Решение:
Каждый год в день города чемпион города по шахматам дает сеанс одновременной игры на трех досках трем лучшим игрокам детской шахматной секции. Известно, что в 60 % случаев чемпион выигрывает не больше двух партий из трех, в 10 % случаев — проигрывает не менее двух. И даже бывает так (только 2 % случаев), что чемпион проигрывает все три партии. Найдите математическое ожидание числа выигранных чемпионом партий.
Ответ:
Решение:
Известно, что 10 % фенов для сушки волос ломаются меньше чем через год после покупки. До двух лет служат 60 % фенов. И ни один фен не доживает до своего третьего дня рождения. Найдите математическое ожидание числа полных лет службы фена.
Ответ:
Решение:
Имеется последовательность из тысячи случайных цифр. Перед этой последовательностью поставили ноль и десятичную запятую. Получилось случайное число $X$, записанное десятичной дробью: $X=0{,}x_1x_2x_3\ldots x_{1000}$. Найдите $\mathrm{E}X$.
Ответ:
Решение:
Вася и Миша выполняли тест, в котором было 20 вопросов одинаковой сложности и к каждому вопросу даны варианты ответов. Поскольку ни Вася, ни Миша ничего не знали, они только угадывали ответы. Вася угадал верные ответы на 6 вопросов, а Миша — на 8 вопросов, не советуясь с Васей. Найдите математическое ожидание числа совпадений, то есть вопросов, где Вася и Миша оба угадали верные ответы или не угадали.
Ответ:
Решение:
Светофор на пешеходном переходе одну минуту разрешает переходить улицу, а две минуты — запрещает. Найдите среднее время ожидания зеленого света пешеходом, который подошел к перекрестку.
Ответ:
Решение:
Рассеянный Учёный сконструировал фонарик с двумя разноцветными лампочками, соединив их последовательно (см. схему). Если одна из лампочек перегорает, то фонарик перестает работать. Математическое ожидание срока службы синей лампочки 2 года, математическое ожидание срока службы красной лампочки 3 года. Зная распределения сроков службы лампочек, Учёный вычислил, что математическое ожидание срока работы фонарика равно 2 года и 3 месяца. Не ошибся ли Рассеянный Учёный в своих расчётах?
Ответ:
Решение:
Рассеянный Учёный сконструировал фонарик с двумя разноцветными лампочками, соединив их параллельно (см. схему). Фонарик перестанет работать, только если перегорят обе лампочки. Математическое ожидание срока службы синей лампочки 3 года, математическое ожидание срока службы красной лампочки 4 года. Зная распределения сроков службы лампочек, Учёный вычислил, что математическое ожидание срока работы фонарика равно 3 года и 7 месяцев. Не ошибся ли Рассеянный Учёный в своих расчётах?
Ответ:
Решение:
В торговом центре три автомата продают кофе. В течение дня первый автомат ломается с вероятностью 0,4, второй — с вероятностью 0,3. Каждый вечер приходит механик Иванов и чинит все сломанные автоматы. Однажды Иванов написал в отчете, что математическое ожидание поломок в неделю равно 12. Докажите, что Иванов преувеличивает.
Ответ:
Решение:
В торговом центре три автомата продают кофе. В течение дня первый автомат ломается с вероятностью 0,3, второй — с вероятностью 0,2. Каждый вечер приходит инженер Петров и чинит все сломанные автоматы. Однажды Петров написал в отчёте, что математическое ожидание поломок в неделю равно 3,3. Докажите, что Петров преуменьшает.
Ответ:
Решение:
На бал пришли $n$ семейных пар. В каждой паре муж и жена абсолютно одинакового роста, но двух пар одного роста нет. Начинает звучать вальс, и все пришедшие разбиваются случайным образом на пары: каждый кавалер танцует со случайно выбранной дамой. Найдите математическое ожидание случайной величины $X$ «Число кавалеров, которые ниже своей партнёрши».
Ответ:
Решение:
А. и Б. играют в орлянку, бросая монету 100 раз. Если выпадет орёл, то игрок Б. отдаёт рубль игроку А., а если решка, то игрок А. отдаёт рубль игроку Б. Монета несимметричная, поэтому А. имеет преимущество: математическое ожидание его выигрыша при 100 бросках равно 8 рублям. Известно, что в первый раз выпала решка. Найдите математическое ожидание выигрыша игрока А. при этом условии.
Ответ:
Решение:
Игроки А. и Б. играют в орлянку, бросая монету 100 раз. Если выпадет орёл, то игрок Б. отдаёт рубль игроку А., а если решка, то игрок А. отдаёт рубль игроку Б. Монета несимметричная, поэтому А. имеет преимущество: математическое ожидание его выигрыша при 100 бросках равно 7 рублям. Известно, что в первый раз выпал орёл. Найдите математическое ожидание выигрыша игрока А. при этом условии.
Ответ:
Решение:
Была у братьев шоколадка, разделенная на 36 квадратиков прямолинейными бороздками (см. рисунок). Старший брат сломал шоколадку по случайной прямой и поступил по-братски: съел тот кусок, который оказался не больше другого. Потом пришёл младший брат, сломал оставшуюся часть тоже по случайной прямой и съел кусок, который оказался не меньше другого. Определите, кто из братьев съел в среднем больше — сравните математические ожидания количества квадратиков, доставшихся братьям.
Ответ:
Решение:
Крупная торговая сеть продовольственных магазинов проводит внутренний аудит (независимую проверку) своих поставщиков с их согласия. Сначала проверяется количество жалоб и рекламаций со стороны покупателей на 100 единиц проданного товара.
Если жалоб нет или очень мало, то аудит завершается.
Если жалоб немного, то назначается выборочная проверка условий производства и качества продукции.
Сплошная проверка качества продукции и условий производства обходится втрое дороже выборочной и назначается в двух случаях: 1. Количество жалоб превышает некоторое пороговое значение. Вероятность этого равна 0,25. 2. Выборочная проверка выявила много нарушений. Вероятность этого равна $\beta$.
Главный экономист сети заявил, что, если упразднить выборочную проверку, заменив ее сплошной, то средняя стоимость аудита не изменится, а время аудита сократится. Оказалось, что экономист прав. Найдите вероятность $\beta$.
Если жалоб нет или очень мало, то аудит завершается.
Если жалоб немного, то назначается выборочная проверка условий производства и качества продукции.
Сплошная проверка качества продукции и условий производства обходится втрое дороже выборочной и назначается в двух случаях: 1. Количество жалоб превышает некоторое пороговое значение. Вероятность этого равна 0,25. 2. Выборочная проверка выявила много нарушений. Вероятность этого равна $\beta$.
Главный экономист сети заявил, что, если упразднить выборочную проверку, заменив ее сплошной, то средняя стоимость аудита не изменится, а время аудита сократится. Оказалось, что экономист прав. Найдите вероятность $\beta$.
Ответ:
Решение:
По случаю начала зимних каникул все мальчики из 8 «В» пошли в тир. Известно, что в 8 «В» $n$ мальчиков. В тире, куда пришли ребята, $n$ мишеней. Каждый из мальчиков случайным образом выбирает себе мишень, при этом некоторые ребята могли выбрать одну и ту же мишень. После этого все одновременно делают залп по своим мишеням. Известно, что каждый из мальчиков попал в свою мишень. Мишень считается пораженной, если в нее попал хоть один мальчик.
а) Найти среднее количество пораженных мишеней.
б) Может ли среднее количество пораженных мишеней быть меньше $\frac{n}{2}$?
а) Найти среднее количество пораженных мишеней.
б) Может ли среднее количество пораженных мишеней быть меньше $\frac{n}{2}$?
Ответ:
Решение:
В затылок друг другу выстроились $n$ человек. Более высокие загораживают более низких, и тех не видно. Чему равно математическое ожидание числа людей, которых видно?
Ответ:
Решение:
Игральную кость бросают шесть раз. Найдите математическое ожидание числа различных выпавших граней.
Ответ:
Решение:
Муха двигается из начала координат только вправо или вверх по линиям целочисленной сетки (монотонное блуждание). В каждом узле сетки муха случайным образом выбирает направление дальнейшего движения: вверх или вправо.
а) Докажите, что рано или поздно муха достигнет точки с абсциссой 2011.
б) Найдите математическое ожидание ординаты мухи в момент, когда муха достигла абсциссы 2011.
а) Докажите, что рано или поздно муха достигнет точки с абсциссой 2011.
б) Найдите математическое ожидание ординаты мухи в момент, когда муха достигла абсциссы 2011.
Ответ:
Решение:
По свистку учителя физкультуры все ученики, 10 мальчиков и 7 девочек, выстроились в шеренгу в случайном порядке — кто куда успел. Найдите математическое ожидание величины «Число девочек, стоящих левее всех мальчиков».
Ответ:
Решение: