Докажите, что среди вершин выпуклого девятиугольника можно найти три, образующие тупоугольный треугольник, ни одна сторона которого не совпадает со сторонами девятиугольника.
Ответ:
Решение:
Пятиугольник $ABCDE$ описан около окружности. Известно, что $AB=BC$, $CD=DE$, $AE=6$, $AC=8$, $CE=7$. Найти радиус окружности, вписанной в пятиугольник, и угол $BCD$.
Ответ:
Решение:
Баран на пастбище привязан сразу к двум деревьям, верёвками по 5 метров длиной. На пастбище есть ещё два дерева. Вместе эти деревья образуют 4 соседние вершины правильного шестиугольника со стороной в 2 метра (см. рисунок). Насколько близко он сможет подойти к дереву, к которому привязан?
Ответ:
Решение:
Дан такой выпуклый четырёхугольник $ABCD$, что $AB=BC$ и $AD=DC$. Точки $K$, $L$ и $M$ — середины отрезков $AB$, $CD$ и $AC$ соответственно. Перпендикуляр, проведённый из точки $A$ к прямой $BC$, пересекается с перпендикуляром, проведённым из точки $C$ к прямой $AD$, в точке $H$. Докажите, что прямые $KL$ и $HM$ перпендикулярны.
Ответ:
Решение:
Существует ли такой выпуклый четырёхугольник, у которого длины всех сторон и диагоналей в некотором порядке образуют геометрическую прогрессию?
Ответ:
Решение:
В выпуклом 12-угольнике все углы равны. Известно, что длины каких-то десяти его сторон равны 1, а длина ещё одной равна 2. Чему может быть равна площадь этого 12-угольника?
Ответ:
Решение:
Последовательность выпуклых четырёхугольников \[P_1Q_1R_1S_1,\quad P_2Q_2R_2S_2,\quad\ldots,\quad P_{2012}Q_{2012}R_{2012}S_{2012}\] такова, что вершины четырёхугольника $P_{n+1}Q_{n+1}R_{n+1}S_{n+1}$ являются серединами сторон четырёхугольника $P_nQ_nR_nS_n$ ($n=1,2,\ldots,2011$).
а) Может ли отношение периметров четырёхугольников $P_{2012}Q_{2012}R_{2012}S_{2012}$ и $P_1Q_1R_1S_1$ равняться $32\cdot10^{-303}$?
б) Найдите все возможные значения этого отношения.
а) Может ли отношение периметров четырёхугольников $P_{2012}Q_{2012}R_{2012}S_{2012}$ и $P_1Q_1R_1S_1$ равняться $32\cdot10^{-303}$?
б) Найдите все возможные значения этого отношения.
Ответ:
Решение:
В правильном семиугольнике провели самые длинные диагонали. Получившуюся семиугольную звёздочку вырезали и раскрасили, будто это ромашка (см. рис.). Потом белые лепестки согнули у основания по пунктирным линиям так, чтобы они накрывали центр. Найдите площадь множества всех точек, которые накрываются всеми лепестками одновременно. В ответе укажите отношение этой площади к площади изначального семиугольника.
Ответ:
Решение:
Правильный 100-угольник разрезали на несколько параллелограммов и два треугольника. Докажите, что эти треугольники равны.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм, $\angle BAD=60^\circ$, биссектрисы углов $A$ и $D$ пересекаются на стороне $BC$. Найдите $AB$, если $AD=10$.
Ответ:
Решение:
В параллелограмме $ABCD$ выполняется соотношение $BC=3AB$. Биссектрисы углов $BAD$ и $ABC$ пересекают прямую $CD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Найдите периметр параллелограмма $ABCD$, если $PQ=5$.
Ответ:
Решение:
В параллелограмме $ABCD$ известно, что угол между диагоналями $AC$ и $BD$ равен $60^\circ$ и $AC:BD=3:2$. На сторонах параллелограмма взяли последовательно точки $K$, $L$, $M$ и $N$ так, что $KLMN$ — ромб, стороны которого параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площади ромба $KLMN$ к площади параллелограмма $ABCD$.
Ответ:
Решение:
В параллелограмме $ABCD$ сторона $BC$ в $3$ раза больше стороны $AB$. Биссектрисы углов $DAB$ и $ABC$ пересекают прямую $CD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите периметр параллелограмма $ABCD$, если $MN=10$.
Ответ:
Решение:
В параллелограмме $ABCD$ точка $E$ делит пополам сторону $CD$, биссектриса угла $ABC$ пересекает в точке $O$ отрезок $AE$. Найдите площадь четырёхугольника $OBCE$, зная, что $AD=12$, $DE=4$, $\angle ABO=60^\circ$.
Ответ:
Решение:
В параллелограмме $ABCD$ окружность радиуса $1/4$ с центром на отрезке $CD$ проходит через точку $D$ и касается отрезка $BC$ в точке $E$ такой, что угол $BED$ равен $\operatorname{arctg}\frac{4}{3}$. Найдите высоту параллелограмма $DF$, проведённую к стороне $BC$, и длину отрезка $CD$. Найдите площадь параллелограмма, если $AB=BE$.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм с тупым углом $C$. Пусть $E$ — точка пересечения прямой $AB$ с перпендикуляром к $AC$, проходящим через $C$, а прямая $ED$ пересекает диагональ $AC$ в точке $N$. Известно, что $CN=6$, $AN=12$, а $\mathrm{tg}\left(\frac12\angle ADC\right)=\frac45$.
1. Найдите $\mathrm{tg}\,\angle BAC$.
2. Найдите площадь треугольника $ENA$.
1. Найдите $\mathrm{tg}\,\angle BAC$.
2. Найдите площадь треугольника $ENA$.
Ответ:
Решение:
Длины сторон параллелограмма равны $3$ и $2$. Биссектрисы всех его внутренних углов ограничивают на плоскости многоугольник. Найти отношение его площади к площади параллелограмма.
Ответ:
Решение:
Точка $M$ — середина стороны $AD$ параллелограмма $ABCD$. Прямая $CM$ наклонена к основанию $AD$ под углом $30^\circ$. Вершина $B$ равноудалена от прямой $CM$ и вершины $A$. Найти углы параллелограмма. Найти площадь параллелограмма, если длина основания $AD$ равна 2.
Ответ:
Решение:
Окружность с центром на диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$ касается прямой $AB$ и проходит через точки $C$ и $D$. Найти стороны параллелограмма, если его площадь $S=\sqrt2$, а $\angle BAC=\arcsin\frac13$.
Ответ:
Решение:
В параллелограмме $ABCD$ прямые $l_1$ и $l_2$ являются биссектрисами углов $A$ и $C$ соответственно, а прямые $m_1$ и $m_2$ — биссектрисами углов $B$ и $D$ соответственно. Расстояние между $l_1$ и $l_2$ в $\sqrt3$ раз меньше расстояния между $m_1$ и $m_2$. Найти угол $BAD$ и радиус окружности, вписанной в треугольник $ABD$, если $AC=\sqrt{22/3}$, $BD=2$.
Ответ:
Решение: