Найдите наименьшее положительное значение константы $C$ такое, что при любых $a$ и $b$ выполняется неравенство \[ C+a^2+b^2\geqslant ab+a+b. \]
Ответ:
Решение:
Числа $a$, $b$ таковы, что $|a|\leqslant 6$, $|b|\leqslant 6$. Какое наибольшее значение может принимать выражение $a^3b-3a^2b^2$?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее значение выражения $4y+8x$ при условии \[\begin{cases} |x-3y|\leqslant 3,\\ |3x-y|\leqslant 1.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Какого наибольшего значения может достигать $y$, если известно, что существует такое число $x$, что выполняется соотношение $x-2\sqrt{x+7}=2\sqrt{y+7}-y$?
Ответ:
Решение:
Известно, что для всех пар чисел $(x;y)$, для которых выполняются равенство $x+y=3$ и неравенство $x^2+y^2\gt 14$, выполняется и неравенство $x^3+y^3\gt m$. Какое наибольшее значение может принимать $m$?
Ответ:
Решение:
Известно, что для всех пар положительных чисел $(x;y)$, для которых выполняются равенство $x+y=8$ и неравенство $x^2+y^2\gt 35$, выполняется и неравенство $x^5+y^5\gt m$. Какое наибольшее значение может принимать $m$?
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее значение параметра $p$, для которого при всех $0\leqslant x\leqslant 1$, $0\leqslant y\leqslant 2$, $0\leqslant z\leqslant 7$ выполняется неравенство $xyz+p\geqslant 19x+7y+2z$.
Ответ:
Решение:
Найти наибольшее значение выражения $x^3y-3y^2x^2$, если $0\leqslant x\leqslant 3$ и $0\leqslant y\leqslant 3$.
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее значение выражения \[ 3\sin^2\alpha+7\cos^2\alpha+8\sin^4\alpha+12\cos^4\alpha. \]
Ответ:
Решение:
Какое наибольшее значение может принимать выражение \[\dfrac{1}{a+\frac{2010}{b+\frac1c}},\] где $a$, $b$, $c$ — попарно различные ненулевые цифры?
Ответ:
Решение:
Отрезок $[2;29]$ числовой оси разбит двумя точками $a$ и $b$ на три отрезка, длины которых $x$, $y$ и $z$ соответственно. Найти наибольшее возможное значение выражения $\log_3 x+\log_3 y+\log_3 z$.
Ответ:
Решение:
Решить неравенство: $$\log_{x+1}(5x+3)+9\log_{25x^2+30x+9}(x^2+2x+1)-3\log_{5x+3}(25x^2+30x+9) \leqslant 0.$$
Ответ:
Решение:
Решить неравенство: $$\log_{x+2}(2x+5)+9\log_{4x^2+20x+25}(x^2+4x+4)-3\log_{2x+5}(4x^2+20x+25) \leqslant 0.$$
Ответ:
Решение:
Решить неравенство: $$\log_{x+1}(3x+5)+9\log_{9x^2+30x+25}(x^2+2x+1)-3\log_{3x+5}(9x^2+30x+25) \leqslant 0.$$
Ответ:
Решение:
Решить неравенство: $$\log_{x+1}(2x+3)+9\log_{4x^2+12x+9}(x^2+2x+1)-3\log_{2x+3}(4x^2+12x+9) \leqslant 0.$$
Ответ:
Решение:
Решить неравенство: $\displaystyle \frac{\log_7(x^2-4x-4)^8-\log_2(x^2-4x-4)^3}{3+x-2x^2}\geqslant 0$.
Ответ:
Решение: