Точка $M$ — середина отрезка $AB$, $O$ — произвольная точка. Доказать, что $\displaystyle\overline{OM}=\frac12\left(\overline{OA}+\overline{OB}\right)$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведены медианы $AP$, $BQ$ и $CR$. Доказать, что $\overline{AP}+\overline{BQ}+\overline{CR}=\vec 0$.
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=3:1$, а на середине отрезка $AM$ взята точка $K$. Через векторы $\vec a=\overline{AB}$ и $\vec b=\overline{AC}$ выразить:
а) вектор $\overline{AM}$,
б) вектор $\overline{CK}$.
а) вектор $\overline{AM}$,
б) вектор $\overline{CK}$.
Ответ:
Решение:
Написать уравнение прямой, проходящей через точки $A(4;~-6)$ и $B(-8;~-12)$, а также найти координаты точки пересечения этой прямой с прямой $2x+y=2$.
Ответ:
Решение:
Перпендикуляр, опущенный из вершины прямоугольника на диагональ, делит прямой угол на две части в отношении $1 : 5$. Найдите угол между этим перпендикуляром и другой диагональю.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $CK$, причем $AC>BC$. Доказать, что угол $AKC$ — тупой.
Ответ:
Решение:
Приведите пример неравностороннего треугольника, который можно (двумя линиями реза) разрезать на три равных треугольника.
Ответ:
Решение:
Из прозрачного листа бумаги вырезан круг. Объясните, как, не используя чертёжных инструментов, найти центр этого круга.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник, вырезанный из бумаги. Объяснить, как, не пользуясь чертёжными инструментами, найти точку пересечения срединных перпендикуляров к его сторонам. (Срединный перпендикуляр к отрезку — прямая, проходящая через его середину перпендикулярно данному отрезку).
Ответ:
Решение:
Дан треугольник, вырезанный из бумаги. Объяснить, как, не пользуясь чертёжными инструментами, найти точку пересечения его биссектрис.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ $\angle C=90^{\circ}$, $\angle A=15^{\circ}$. На гипотенузу опущена высота $CH=2$. Найти $AB$.
Ответ:
Решение:
Диагональ $AC$ прямоугольника $ABCD$ составляет с большей стороной $AB$ угол $30^{\circ}$. Через середину этой диагонали перпендикулярно ей проведена прямая, пересекающая стороны $CD$ и $AB$ в точках $M$ и $K$ соответственно.
а) Доказать, что $AM=CM=CK=AK$.
б) Найти $AM$, если $AB=12$.
а) Доказать, что $AM=CM=CK=AK$.
б) Найти $AM$, если $AB=12$.
Ответ:
Решение:
Окружность касается стороны $BC$ треугольника $ABC$ в точке $T$ и продолжений его сторон $AB$ (за точку $B$) и $AC$ (за точку $C$) в точках $P$ и $S$ соответственно. Доказать, что $\displaystyle AP=\frac12 P_{\triangle ABC}$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна $14{,}5$ и разбивает треугольник на два треугольника, периметры которых равны $49$ и $50$. Найти все стороны треугольника. Есть ли в задаче лишние данные? (Если да, то привести решение, не использующее эти данные).
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ $\angle C=30^{\circ}$. Из вершины $B$ прямого угла на гипотенузу $AC$ опущен перпендикуляр $BH_1$. Из точки $H_1$ на катет $BC$ опущен перпендикуляр $H_1B_1$. Из точки $B_1$ на гипотенузу опущен перпендикуляр $B_1H_2$. Из точки $H_2$ на катет $BC$ опущен перпендикуляр $H_2B_2$. Из точки $B_2$ на гипотенузу опущен перпендикуляр $B_2H_3$. Из точки $H_3$ на катет $BC$ опущен перпендикуляр $H_3B_3=27$. Найти гипотенузу треугольника.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ $\angle C=30^{\circ}$. Из вершины $B$ прямого угла на гипотенузу $AC$ опущен перпендикуляр $BH_1$. Из точки $H_1$ на катет $BC$ опущен перпендикуляр $H_1B_1$. Из точки $B_1$ на гипотенузу опущен перпендикуляр $B_1H_2$. Из точки $H_2$ на катет $BC$ опущен перпендикуляр $H_2B_2$. Из точки $B_2$ на гипотенузу опущен перпендикуляр $B_2H_3$. Из точки $H_3$ на катет $BC$ опущен перпендикуляр $H_3B_3$. Из точки $B_3$ на гипотенузу опущен перпендикуляр $B_3H_4$. Из точки $H_4$ на катет $BC$ опущен перпендикуляр $H_4B_4=81$. Найти гипотенузу треугольника.
Ответ:
Решение:
На биссектрису $AL$ остроугольного треугольника $ABC$ опущен из вершины $B$ перпендикуляр $BH$, продолжение которого за точку $H$ пересекает сторону $AC$ в точке $M$. На продолжении стороны $BC$ за точку $B$ взята точка $S$. Доказать, что $\angle SBA=\angle LMC$.
Ответ:
Решение:
Из точки $M$, лежащей вне окружности с центром в точке $O$, проведены к окружности касательные $MA$ и $MB$ ($A$ и $B$ — точки касания). Отрезок $MO$ делится хордой $AB$ на отрезки, равные 14 и 8. Найти хорду $AB$.
Ответ:
Решение:
Из точки $M$, лежащей вне окружности с центром в точке $O$, проведены к окружности касательные $MA$ и $MB$ ($A$ и $B$ — точки касания). Отрезок $MO$ делится хордой $AB$ на отрезки, равные 36 и 16. Найти хорду $AB$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ из вершины прямого угла $C$ проведены медиана $CM$ и высота $CH$. Найти $HM$, если гипотенуза $AB=12$, $\angle ABC=30^{\circ}$.
Ответ:
Решение: