Цветочный луг, гречишное поле и липовая роща расположены в трёх точках, не лежащих на одной прямой. Пасечник поставил улей на прямолинейной тропинке между лугом и полем так, чтобы сумма расстояний от улья до луга, поля и рощи была наименьшей. На каком расстоянии от луга установлен улей, если известно, что длина тропинки равна $1000$ м, расстояния от улья до луга, рощи и поля (в указанном порядке) являются тремя последовательными членами некоторой геометрической прогрессии, а длина тропинки, расстояние от рощи до луга и расстояние от рощи до поля — соответственно вторым, четвёртым и шестым членами некоторой арифметической прогрессии?
Ответ:
Решение:
Острый угол треугольника $ABC$ равен $30^\circ$. Найти максимальное возможное значение отношения $r:R$, где $r$ и $R$ — радиусы вписанной и описанной окружностей.
Ответ:
Решение:
Правильный треугольник площади $\sqrt3$ разбит произвольным образом на правильные треугольники. Найти наименьшее возможное значение суммы площадей кругов, описанных около этих треугольников.
Ответ:
Решение:
Прямоугольник, отношение сторон которого равно 5, имеет наибольшую площадь среди всех прямоугольников, вершины которых лежат на сторонах данного ромба, а стороны параллельны диагоналям ромба. Найдите острый угол ромба.
Ответ:
Решение:
Две стороны выпуклого четырехугольника имеют длину 6, ещё одна — длину 1, а его площадь — наибольшая возможная при таких условиях. Какова длина четвертой стороны четырехугольника?
Ответ:
Решение:
Вершины $K$, $L$, $M$, $N$ четырёхугольника $KLMN$ лежат соответственно на сторонах $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ квадрата $ABCD$. Найти наименьший возможный периметр четырёхугольника $KLMN$, если известно, что $AK=2$ см, $BK=4$ см и $AN=ND$.
Ответ:
Решение:
На одной из сторон острого угла с вершиной $O$ взяты точки $A$ и $B$, а на другой — точка $C$. При какой длине отрезка $OC$ величина угла $ACB$ максимальна, если $OA=1$, $OB=5$?
Ответ:
Решение:
На плоскости задана точка $P$. Рассматриваются различные равносторонние треугольники $ABC$, такие что $PA=2$, $PB=3$. Какое максимальное значение может принимать длина отрезка $PC$?
Ответ:
Решение:
Прямая $c$ задаётся уравнением $y=2x$. Точки $A$ и $B$ имеют координаты $A(2,2)$ и $B(6,2)$. На прямой $c$ найдите точку $C$, из которой отрезок $AB$ виден под наибольшим углом.
Ответ:
Решение:
Прямая $c$ задаётся уравнением $y=x+1$. Точки $A$ и $B$ имеют координаты $A(1,0)$ и $B(3,0)$. На прямой $c$ найдите точку $C$, из которой отрезок $AB$ виден под наибольшим углом.
Ответ:
Решение:
Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=9$, $BC=2$ и боковыми сторонами $AB=5$, $CD=3\sqrt{2}$. Точка $P$ на прямой $BC$ такова, что периметр треугольника $APD$ наименьший из возможных. Найдите этот периметр.
Ответ:
Решение:
У Винтика и у Шпунтика есть по три палочки суммарной длины $1$ метр у каждого. И Винтик, и Шпунтик могут сложить из трёх своих палочек треугольник. Ночью в их дом прокрался Незнайка, взял по одной палочке у Винтика и у Шпунтика и поменял их местами. Наутро оказалось, что Винтик не может сложить из своих палочек треугольник. Можно ли гарантировать, что Шпунтик из своих сможет?
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ на основании $BC$ взята точка $D$, а на боковой стороне $AB$ — точки $E$ и $M$ так, что $AM=ME$ и отрезок $DM$ параллелен стороне $AC$. Докажите, что $AD+DE\gt AB+BE$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ высоты или их продолжения пересекаются в точке $H$, а $R$ — радиус описанной около него окружности. Докажите, что если $\angle A\leqslant\angle B\leqslant\angle C$, то $AH+BH\geqslant 2R$.
Ответ:
Решение:
Из шести палочек попарно различной длины сложены два треугольника (по три палочки в каждом). Всегда ли можно сложить из них один треугольник, стороны которого состоят из одной, двух и трех палочек соответственно?
Ответ:
Решение:
Какая наименьшая площадь может быть у треугольника $AOC$, вершина $O$ которого лежит на катете $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ и является центром окружности радиуса $R$, касающейся гипотенузы $AC$ и проходящей через точку $B$?
Ответ:
Решение:
На гипотенузе $AB$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ отмечены точки $P$ и $Q$ ($P$ лежит между $A$ и $Q$) такие, что $AP^2+BQ^2=PQ^2=\sqrt{578}$. Найдите наименьшее возможное значение радиуса описанной около треугольника $CPQ$ окружности.
Ответ:
Решение:
Точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ расположены на сторонах квадрата со стороной $a\gt 5$ так, что отрезки $MN$ и $PQ$ не пересекаются и имеют длины $3$ и $5$ соответственно. Найти наименьшее возможное значение расстояния между серединами этих отрезков.
Ответ:
Решение:
Две параллельные прямые, расстояние между которыми 1, пересекают прямоугольник размерами $3\times 5$ под углом $\alpha=\operatorname{arctg}\frac34$ к его стороне. Найти максимальное возможное значение суммы длин отрезков этих прямых, принадлежащих прямоугольнику.
Ответ:
Решение:
На дуге, равной половине дуги окружности радиуса $R$, расположены 5 точек, являющихся вершинами выпуклого многоугольника. Найти периметр многоугольника, если известно, что сумма квадратов длин его сторон максимально возможная.
Ответ:
Решение: