Продолжение биссектрисы $AD$ треугольника $ABC$ пересекает окружность, описанную вокруг этого треугольника, в точке $E$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $BC=a$, $\angle BAC=\alpha$, $AE=d$.
Ответ:
Решение:
Пусть $OP$ — диаметр окружности $\Omega$, $\omega$ — окружность с центром в точке $P$ и радиусом меньше, чем у $\Omega$. Окружности $\Omega$ и $\omega$ пересекаются в точках $C$ и $D$. Хорда $OB$ окружности $\Omega$ пересекает вторую окружность в точке $A$. Найдите длину отрезка $AB$, если $BD\cdot BC=5$.
Ответ:
Решение:
Точка $O$ — центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$. Прямая, перпендикулярная стороне $AC$, пересекает сторону $BC$ и прямую $AB$ в точках $Q$ и $P$ соответственно. Докажите, что точки $B$, $O$ и середины отрезков $AP$ и $CQ$ лежат на одной окружности.
Ответ:
Решение:
Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$ с попарно непараллельными сторонами. На стороне $AD$ выбирается произвольная точка $P$, отличная от $A$ и $D$. Описанные окружности треугольников $ABP$ и $CDP$ вторично пересекаются в точке $Q$. Докажите, что прямая $PQ$ проходит через фиксированную точку, не зависящую от выбора точки $P$.
Ответ:
Решение:
Пусть $O$ — центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$. На стороне $BC$ отметили точку $D$. Окружности, описанные около треугольников $BOD$ и $COD$, повторно пересекают отрезки $AB$ и $AC$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Докажите, что из отрезков $BX$, $XY$ и $YC$ можно сложить треугольник.
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $BC$ равны, $K$ — точка пересечения диагоналей. Описанная окружность треугольника $ABD$ повторно пересекает сторону $BC$ в точке $Y$, а описанная окружность треугольника $BCD$ повторно пересекает сторону $AB$ в точке $X$. Докажите, что $\angle AKX=\angle CKY$.
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $K$ так, что $AK=8$, $BK=24$, $KC=3$. Около треугольника $ABK$ описана окружность. Через точку $C$ и середину $D$ стороны $AB$ проведена прямая, которая пересекает окружность в точке $P$, причем $CP\gt CD$. Найдите $DP$, если $\angle APB=\angle BAC$.
Ответ:
Решение:
Дан вписанный четырехугольник $ABCD$. Лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $E$, а лучи $DA$ и $CB$ — в точке $F$. Луч $BA$ пересекает описанную вокруг треугольника $DEF$ окружность в точке $L$, а луч $BC$ пересекает ту же окружность в точке $K$. Длина отрезка $LK$ равна 5, $\angle EBC=15^\circ$. Найти радиус окружности, описанной около треугольника $EFK$.
Ответ:
Решение:
Окружность проходит через вершины $A$ и $C$ равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=BC$) и пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$, соответственно. $MK$, хорда этой окружности, равная по длине $2\sqrt5$, содержит точку $H$, лежащую на $AC$ и являющуюся основанием высоты треугольника $ABC$. Прямая, проходящая через точку $C$ и перпендикулярная $BC$, пересекает прямую $MN$ в точке $L$. Найти радиус окружности, описанной около треугольника $MKL$, если $\cos\angle ABK=\frac23$.
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $K$ так, что $AK=9\sqrt2/2$, $BK=9$, $KC=3$. Около треугольника $ABK$ описана окружность. Через точку $C$ и точку $D$, лежащую на стороне $AB$, проведена прямая, которая пересекает окружность в точке $P$, причем $CP\gt CD$. Найдите $DP$, если $\angle APB=\angle BAC$, $CD$ — биссектриса треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Пусть $I$ — центр вписанной окружности неравнобедренного треугольника $ABC$. Через $A_1$ обозначим середину дуги $BC$ описанной окружности треугольника $ABC$, не содержащей точки $A$, а через $A_2$ — середину дуги $BAC$. Перпендикуляр, опущенный из точки $A_1$ на прямую $A_2I$, пересекает прямую $BC$ в точке $A'$. Аналогично определяются точки $B'$ и $C'$.
а) Докажите, что точки $A'$, $B'$ и $C'$ лежат на одной прямой.
б) Докажите, что эта прямая перпендикулярна прямой $OI$, где $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$.
а) Докажите, что точки $A'$, $B'$ и $C'$ лежат на одной прямой.
б) Докажите, что эта прямая перпендикулярна прямой $OI$, где $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Биссектриса угла $ABC$ пересекает описанную окружность $\omega$ треугольника $ABC$ в точках $B$ и $L$. Точка $M$ — середина отрезка $AC$. На дуге $ABC$ окружности $\omega$ выбрана точка $E$ так, что $EM\parallel BL$. Прямые $AB$ и $BC$ пересекают прямую $EL$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что $PE=EQ$.
Ответ:
Решение:
Множество вертикальных и горизонтальных параллельных прямых разбивают плоскость на бесконечное число равных прямоугольников со сторонами $1$ и $\sqrt3$. Пусть $A$ — одна из точек пересечения прямых. Рассмотрим множество всех равносторонних треугольников с вершиной в точке $A$ и двумя другими вершинами, расположенными в точках пересечения прямых. Какое минимальное значение может принимать площадь таких треугольников? Сколько треугольников из этого множества имеет площадь $39\sqrt3$?
Ответ:
Решение:
Сколько точек пространства с целочисленными координатами принадлежат треугольнику с вершинами $(3,4,5)$, $(11,10,6)$, $(5,8,9)$? Точки на вершинах и сторонах тоже считаются.
Ответ:
Решение:
Назовём точку на плоскости узлом, если обе её координаты — целые числа. Дан треугольник с вершинами в узлах, внутри него расположено не меньше двух узлов. Докажите, что среди узлов внутри треугольника можно выбрать такие два узла, что проходящая через них прямая содержит одну из вершин треугольника или параллельна одной из сторон треугольника.
Ответ:
Решение:
Вычислите площадь множества точек, координаты которых $(x;y)$ удовлетворяют неравенству \[ |x-1|+|x+1|+2|y|\leqslant 8. \]
Ответ:
Решение:
Изобразите на плоскости $(x,y)$ множество точек, удовлетворяющих уравнению \[ |3x|+|4y|+|48-3x-4y|=48, \] и найдите площадь полученной фигуры.
Ответ:
Решение:
Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости системой \[ \begin{cases} \sqrt{1-x}+x\geqslant0,\\ \sqrt{x}-2\leqslant y\leqslant 2-x^2. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством \[ \arcsin(2x)+\arccos(2x)\geqslant\frac{\pi}{4}\cdot\left(y^2-2\right). \]
Ответ:
Решение:
Изобразите на координатной плоскости фигуру, заданную неравенством, и вычислите её площадь: $x^2+y^2+4(x-|y|)\leqslant 0$.
Ответ:
Решение: