Дан треугольник $ABC$, в котором $\angle A=\angle C=30^\circ$. На его сторонах $AB$, $BC$ и $AC$ выбраны точки $D$, $E$ и $F$ соответственно так, что $\angle BFD=\angle BFE=60^\circ$. Периметр треугольника $ABC$ равен $p$, а периметр треугольника $DEF$ равен $p_1$. Докажите, что $p\leqslant 2p_1$.
Ответ:
Решение:
На прямой отмечено $n+1$ различных отрезков; одна из точек прямой принадлежит всем этим отрезкам. Докажите, что среди отмеченных отрезков можно выбрать различные отрезки $I$ и $J$, пересекающиеся по отрезку длины, не меньшей $\frac{n-1}{n}\,d$, где $d$ — длина отрезка $I$.
Ответ:
Решение:
Точка $X$ лежит строго внутри описанной около треугольника $ABC$ окружности. Обозначим через $I_B$ и $I_C$ центры вневписанных окружностей этого треугольника, касающихся сторон $AC$ и $AB$ соответственно. Докажите, что $XI_B\cdot XI_C\gt XB\cdot XC$.
Ответ:
Решение:
Диагонали выпуклого четырехугольника $ABCD$ перпендикулярны и пересекаются в точке $O$. Центры вписанных окружностей треугольников $ABC$, $BCD$, $CDA$, $DAB$ являются вершинами выпуклого четырехугольника, периметр которого равен $P$. Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей треугольников $AOB$, $BOC$, $COD$, $DOA$ не превосходит $\dfrac{P}{2}$.
Ответ:
Решение:
Высоты $BD$ и $CE$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$, высоты треугольника $ADE$ пересекаются в точке $F$, точка $M$ — середина стороны $BC$. Докажите, что $BH+CH\geqslant 2FM$.
Ответ:
Решение:
Диагонали выпуклого четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Известно, что $AB=BC=CD=DE=1$. Докажите, что $AD\lt 2$.
Ответ:
Решение:
Периметр треугольника $ABC$ равен 2. На стороне $AC$ отмечена точка $P$, а на отрезке $CP$ — точка $Q$ так, что $2AP=AB$ и $2QC=BC$. Докажите, что периметр треугольника $BPQ$ больше 1.
Ответ:
Решение:
Точка $N$ — середина стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$, а точка $M$ на стороне $AB$ такова, что $CM\perp BD$. Докажите, что если $BM\gt MA$, то $2BC+AD\gt 2CN$.
Ответ:
Решение:
Точка $E$ — середина диагонали $BD$ трапеции $ABCD$. На основании $AD$ отмечена такая точка $F$, что $\angle AFE=\angle BAD$. Точка $K$ симметрична точке $B$ относительно $F$. Докажите, что $AC+CE\geqslant EK$.
Ответ:
Решение:
Выпуклый пятиугольник $ABCDE$ таков, что \[ \angle ACB=\angle CBD=\angle DCE=\angle BDC=30^\circ, \] \[ AB+BC+CD+DE=AD+BE. \] Чему может быть равен угол $A$ этого пятиугольника?
Ответ:
Решение:
На биссектрисе угла $ABC$ отмечена точка $D$. На отрезке $AB$ отмечена точка $E$, а на отрезке $BC$ — точка $F$, причём $AB=DE$ и $BC=DF$. Докажите, что из отрезков $AD$, $CD$ и $EF$ можно сложить треугольник.
Ответ:
Решение:
В окружность вписана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. Известно, что $\angle BAC=28^\circ$ и $\angle ACD=74^\circ$. Сколько градусов составляет $\angle ABC$?
Ответ:
Решение:
В описанном четырехугольнике $ABCD$ оказалось, что $\angle ABC=\angle ACD=90^\circ$. Известно, что $AB=5$, $BC=3$. Найдите, чему равно $CD$.
Ответ:
Решение:
Во вписанном четырёхугольнике $ABCD$ отметили точку $E$ — пересечение лучей $AD$ и $BC$ и точку $F$ — пересечение лучей $AB$ и $DC$. Оказалось, что $CD=DE$, $\angle AEB=51^\circ$ и угловые меры дуг $BC$ и $AD$ находятся в соотношении $2:5$.
1. Найдите угол $AFD$. Ответ выразите в градусах.
2. Найдите величину меньшей дуги $BC$. Ответ выразите в градусах.
1. Найдите угол $AFD$. Ответ выразите в градусах.
2. Найдите величину меньшей дуги $BC$. Ответ выразите в градусах.
Ответ:
Решение:
Дан параллелограмм $ABCD$, точка $M$ — середина стороны $BC$. На стороне $AD$ нашлась точка $K$ такая, что $BK=BM$ и четырёхугольник $KBMD$ является вписанным.
1. Чему равна длина отрезка $MD$, если $AD=17$?
2. Сколько градусов составляет угол $KMD$, если $\angle BAD=46^\circ$?
1. Чему равна длина отрезка $MD$, если $AD=17$?
2. Сколько градусов составляет угол $KMD$, если $\angle BAD=46^\circ$?
Ответ:
Решение:
Четырехугольник $ABCD$ — вписанный. На его диагоналях $AC$ и $BD$ отметили точки $K$ и $L$ соответственно так, что $AK=AB$ и $DL=DC$. Докажите, что прямые $KL$ и $AD$ параллельны.
Ответ:
Решение:
Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, $BC=CD$, $AC=c$, $\angle BAD=2\alpha$. Найдите площадь этого четырёхугольника.
Ответ:
Решение:
На сторонах выпуклого четырёхугольника $ABCD$ во внешнюю сторону построены прямоугольники. Оказалось, что все вершины этих прямоугольников, отличные от точек $A$, $B$, $C$, $D$, лежат на одной окружности. Докажите, что четырехугольник $ABCD$ — вписанный.
Ответ:
Решение:
На стороне $AB$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ взяты точки $K$ и $L$ (точка $K$ лежит между $A$ и $L$), а на стороне $CD$ взяты точки $M$ и $N$ (точка $M$ между $C$ и $N$). Известно, что $AK=KN=DN$ и $BL=BC=CM$. Докажите, что если $BCNK$ — вписанный четырёхугольник, то и $ADML$ тоже вписан.
Ответ:
Решение:
Окружность с центром $I$ вписана в четырёхугольник $ABCD$. Лучи $BA$ и $CD$ пересекаются в точке $P$, а лучи $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $Q$. Известно, что точка $P$ лежит на описанной окружности $\omega$ треугольника $AIC$. Докажите, что точка $Q$ тоже лежит на окружности $\omega$.
Ответ:
Решение: