В треугольной пирамиде $SABC$ из вершины $S$ опустили высоту $SH$. Известно, что $SH=2\sqrt{3}$, $AB\gt BC$, $AB\gt AC$. Сфера, построенная на отрезке $SH$ как на диаметре, проходит через середины четырёх рёбер пирамиды.
а) Найдите длину ребра $AB$ и угол $ACB$.
б) Пусть дополнительно известно, что прямая, проходящая через вершину $C$ и середину ребра $SB$, касается сферы. Найдите объём пирамиды $SABC$.
а) Найдите длину ребра $AB$ и угол $ACB$.
б) Пусть дополнительно известно, что прямая, проходящая через вершину $C$ и середину ребра $SB$, касается сферы. Найдите объём пирамиды $SABC$.
Ответ:
Решение:
Двугранный угол при основании правильной треугольной пирамиды $SABC$ равен $\mathrm{arctg}\,3$. В каком отношении делит боковую сторону $SB$ сфера, центр которой лежит в плоскости основания, если известно, что вершины основания принадлежат сфере?
Ответ:
Решение:
Отрезок $AB=8$ пересекает плоскость $\alpha$ под углом $30^\circ$ и делится этой плоскостью в отношении $1:3$. Найдите радиус сферы, проходящей через точки $A$ и $B$ и пересекающей плоскость $\alpha$ по окружности наименьшего радиуса.
Ответ:
Решение:
В основании пирамиды $SABC$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB^2=BC^2=160$, $AC^2=320$). Сфера, проходящая через вершины $A$, $B$, $C$, делит рёбра $SA$ и $SC$ пополам и пересекает ребро $SB$ в точке $B_1$. Найдите радиус сферы, если $SB_1=9$, $BB_1=1$. В ответ запишите квадрат радиуса сферы.
Ответ:
Решение:
Искусственный спутник (ИСЗ) движется по круговой орбите вокруг Земли (имеет форму шара) на высоте $H$, равной радиусу Земли $R=6372$ км, с периодом обращения $T=4$ ч и постоянной угловой скоростью $\omega=\frac{2\pi}{T}$. Для того, чтобы можно было наблюдать за спутником с поверхности Земли, он должен находиться выше плоскости горизонта. Определите: а) продолжительность наблюдения за спутником (в минутах) от момента его появления над горизонтом до момента захода за горизонт, если траектория ИСЗ проходит ровно над головой наблюдателя; б) плоский угол при вершине конуса обзора поверхности Земли с ИСЗ (в градусах).
Ответ:
Решение:
В основании треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник $ABC$, сторона которого равна $AB=4\sqrt3$, боковое ребро $SA$ пирамиды перпендикулярно плоскости основания и равно $6$. Найти:
а) радиус $R$ сферы, описанной около пирамиды;
б) радиус $r$ сферы, вписанной в пирамиду.
а) радиус $R$ сферы, описанной около пирамиды;
б) радиус $r$ сферы, вписанной в пирамиду.
Ответ:
Решение:
Шар вписан в прямую четырёхугольную призму
а) Докажите, что суммы площадей противоположных боковых граней призмы равны.
б) Найдите отношение объёмов шара и призмы, если периметр основания призмы в четыре раза больше диаметра шара.
а) Докажите, что суммы площадей противоположных боковых граней призмы равны.
б) Найдите отношение объёмов шара и призмы, если периметр основания призмы в четыре раза больше диаметра шара.
Ответ:
Решение:
Точка $P$ лежит на диаметре $AB$ сферы. При этом $AP:PB=3:1$. Через прямую $AB$ проведена плоскость $\alpha$, а через точку $P$ — плоскость $\beta$, перпендикулярная $AB$. Отрезок $CD$ — общая хорда окружностей сечений сферы эти плоскостями, $S$ — окружность пересечения сферы с плоскостью $\beta$, $M$ — точка, лежащая на окружности $S$.
а) Докажите, что $AM=CD$.
б) Найдите объём пирамиды с вершиной $M$ и основанием $ACBD$, если диаметр сферы равен 12, а $M$ — наиболее удалённая от плоскости $\alpha$ точка окружности $S$.
а) Докажите, что $AM=CD$.
б) Найдите объём пирамиды с вершиной $M$ и основанием $ACBD$, если диаметр сферы равен 12, а $M$ — наиболее удалённая от плоскости $\alpha$ точка окружности $S$.
Ответ:
Решение:
Вокруг куба $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ описана сфера. На ребре $CC_{1}$ взята точка $M$, при этом плоскость $ABM$ образует угол $15^{\circ}$ с плоскостью $ABC$.
а) Докажите, что расстояние от центра сферы до плоскости $ABM$ вдвое меньше радиуса окружности, описанной около грани куба. б) Найдите длину линии пересечения плоскости $ABM$ и сферы, если ребро куба равно 2.
а) Докажите, что расстояние от центра сферы до плоскости $ABM$ вдвое меньше радиуса окружности, описанной около грани куба. б) Найдите длину линии пересечения плоскости $ABM$ и сферы, если ребро куба равно 2.
Ответ:
Решение: