На испытаниях беспилотных летательных аппаратов лучшими оказались две модели. При встречном ветре 3 м/c модель Альфа продержалась в воздухе на 150 секунд меньше модели Бета, но пролетела на 500 метров дальше. Какая из моделей пролетит большее расстояние при безветренной погоде и на сколько? Скорость каждой из моделей считать постоянной. Время нахождения модели в воздухе определяется только ее техническими параметрами и не зависит от погодных условий.
Ответ:
Решение:
Перед испытательным пуском одного из агрегатов строящейся гидроэлектростанции выяснилось, что на расстоянии $S$ км выше плотины находится рыбацкая сеть. Скорость течения реки составляет $v$ км/ч. Работники гидроэлектростанции решили отправиться туда на катере. Снятие сети займёт $5$ минут. Какова должна быть собственная скорость катера, чтобы вся поездка (включая время, требуемое на снятие сети) заняла не более $45$ минут?
Ответ:
Решение:
Друзья Вася, Петя и Коля живут в одном доме. Однажды Вася и Петя пешком отправились на рыбалку на озеро. Коля остался дома, пообещав приятелям встретить их на велосипеде на обратной дороге. Первым домой отправился Вася, одновременно с ним навстречу на велосипеде выехал Коля. Петя с той же скоростью, что и Вася, отправился с озера домой в момент встречи Коли и Васи. Коля, встретив Васю, сразу же развернулся и довез его домой, а затем тотчас же снова на велосипеде двинулся по дороге к озеру. Встретив Петю, Коля вновь развернулся и довез приятеля до дома. В результате, время, затраченное Петей на дорогу с озера домой, составило $5/4$ от времени, затраченного Васей на тот же путь. Во сколько раз медленнее Вася добрался бы до дома, если бы весь путь он прошел бы пешком?
Ответ:
Решение:
Из пункта $A$ в пункт $B$, расстояние между которыми равно $24$ км, одновременно вышел пешеход и выехал велосипедист. Затратив на путь от $A$ до $B$ не менее двух часов, велосипедист, не останавливаясь, повернул обратно и стал двигаться по направлению к пункту $A$ со скоростью в два раза большей первоначальной. Через $24$ мин после своего отправления из пункта $B$ велосипедист встретился с пешеходом. Определите наибольшее возможное целое значение скорости (в км/ч) пешехода, и для этого значения скорости пешехода найдите первоначальную скорость велосипедиста.
Ответ:
Решение:
Автобус с 6 часов утра с постоянной скоростью курсирует между пунктами $A$ и $B$, причем, доехав до пункта $A$ или $B$ он сразу же поворачивает обратно. Петя на мопеде и Вася на велосипеде одновременно вместе с автобусом в 6 часов утра отправились из пункта $A$ в пункт $B$, двигаясь при этом с постоянными скоростями. Известно, что автобус во время второго передвижения из пункта $A$ в пункт $B$ в 13 часов 30 минут поравнялся с Васей, и прибыл в пункт $B$ в 15 часов одновременно с Петей. Определите отношение скоростей движения Васи и Пети. Укажите, в котором часу автобус на пути своего первого следования из пункта $B$ в пункт $A$ поравнялся с Васей.
Ответ:
Решение:
Одновременно из пункта $A$ в пункт $B$ отправляется автомобиль со скоростью 80 км/ч, а из пункта $B$ в пункт $C$ — поезд со скоростью 50 км/ч. Через 7 часов после начала движения они оказались на наименьшем расстоянии друг от друга. Найдите расстояние между пунктами, если все три пункта равноотстоят друг от друга и связаны прямолинейными дорогами.
Ответ:
Решение:
Из пункта $A$ в пункт $B$ выезжают одновременно велосипедист и мотоциклист. Оба они движутся с постоянной скоростью, и мотоциклист прибывает в пункт $B$ на 2 часа раньше велосипедиста. Если бы велосипедист ехал со своей скоростью в течение того времени, что понадобилось мотоциклисту на дорогу от $A$ к $B$, а мотоциклист — в течение того времени, что понадобилось велосипедисту на этот путь, то мотоциклист проехал бы на 96 километров больше. Если бы скорость каждого из них возросла на 6 км/ч, то велосипедист приехал бы в $B$ на 1 час 15 минут позже мотоциклиста. Найдите расстояние между $A$ и $B$.
Ответ:
Решение:
Из пункта $A$ в пункт $C$ по прямолинейной железной дороге с постоянной скоростью $60$ км/ч движется поезд. В точке $B$, расположенной на расстоянии $2$ км от железной дороги и на расстоянии $3$ км от точки $A$, находится мотоциклист. С какой минимальной постоянной скоростью должен двигаться мотоциклист, чтобы догнать поезд, если известно, что угол $BAC$ острый? Ответ дайте в км/ч.
Ответ:
Решение:
Города $X$ и $Y$ расположены на реке, причём $X$ — выше по течению, а между ними находится пристань П. В 8:00 катамаран и лодка находились в городе $X$, плот — у пристани П, а катер — в городе $Y$. Они одновременно начали движение: катер — вверх по течению, а катамаран, лодка и плот — вниз по течению. Известно, что лодка и плот встретились в том же самом месте, где катамаран встретился с катером. Кроме того, катамаран и плот встретились в том же самом месте, где встретились лодка и катер. Все движутся с постоянными скоростями, скорость катера в $6$ раз больше скорости плота (то есть одно и то же расстояние катер проходит в $6$ раз быстрее, чем плот), а места встречи плота с лодкой и с катамараном различны. Найдите отношение расстояния $X\text{П}$ к расстоянию $\text{П}Y$.
Ответ:
Решение:
Пункт $B$ расположен на прямолинейной дороге между пунктами $A$ и $C$, причём $AB:BC=8$. Первоначально Тигра и Пятачок находятся в пункте $A$, Винни-Пух — в пункте $B$, а Кролик — в пункте $C$. Они одновременно начинают движение, при этом Тигра и Пятачок идут из $A$ в $C$, Винни-Пух — из $B$ в $C$, а Кролик — из $C$ в $A$. Наблюдая за передвижением своих друзей, Кристофер Робин заметил, что
- Пятачок и Винни-Пух встретились у домика Совы;
- Кролик и Тигра встретились у домика Совы;
- Тигра и Винни-Пух встретились у дупла с мёдом;
- Пятачок и Кролик встретились у дупла с мёдом;
- скорости Пятачка и Тигры различны.
Ответ:
Решение:
От пристани $A$ к пристани $B$, расположенной от $A$ вниз по течению, одновременно отправились лодка и байдарка. Километром ниже от $A$ по течению к $B$ отправился также плот. Если сложить времена движения лодки, байдарки и плота до пристани $B$, то получится $22$ часа. Найдите расстояние между пристанями, если известно, что байдарка прибыла к $B$ на $2$ часа раньше лодки, скорости плота, лодки и байдарки являются тремя последовательными членами некоторой арифметической прогрессии, а скорость плота, скорость в стоячей воде лодки и скорость в стоячей байдарки — тремя последовательными членами некоторой геометрической прогрессии.
Ответ:
Решение:
В бассейне, на соседних дорожках тренируются два пловца Петя и Костя. Петя проплывает дорожку 50 м за две минуты, Костя — за три. Вначале тренировки оба находились на линии старта у края дорожки, спустя 60 мин тренировка закончилась. Сколько раз за это время, включая начало, они находились на одинаковом расстоянии от линии старта?
Ответ:
Решение:
Петя пришел на остановку автобуса, едущего до школы с остановками равноотстоящими друг от друга, и, не увидев автобуса на дороге, решил пробежаться и сесть в автобус на следующих остановках по пути в школу. Бежал Петя так, что в любой момент времени мог заметить появление автобуса на дороге за своей спиной. Увидев автобус, Петя может повернуть назад или сохранить направление движения. Известно, что скорость движения автобуса в $4$ раза превосходит скорость бега Пети, а увидеть автобус он может на расстоянии не более $1$ км. Найти наибольшее значение расстояния между остановками, при котором независимо от того, повернет Петя назад при обнаружении автобуса или нет, он сможет сесть в автобус на остановке. (Время нахождения автобуса на остановке не учитывать.)
Ответ:
Решение:
Компания друзей совершала пробежку по прямолинейному участку шоссе: мальчики бежали в одном направлении, девочки — в противоположном. Через $t_1$ мин после того, как Паша обогнал Ваню, он поравнялся с Таней, а затем через $t_2$ мин оказался рядом с бегущей Машей. Спустя еще $t_3$ мин Маша повстречалась с Ваней. Наконец, еще $t_4$ мин понадобилось ей чтобы догнать Таню. Известно, что $t_1:t_2=1:2$ и $t_3:t_4=1:1$.
Сколько времени было на часах, когда Ваня поравнялся с Таней, если известно, что Паша догнал Ваню в $12$ часов дня, Маша была в одной точке шоссе с Ваней в момент, когда часы показывали $14$ часов, а скорость бега всех участников была постоянной и различной для каждого?
Сколько времени было на часах, когда Ваня поравнялся с Таней, если известно, что Паша догнал Ваню в $12$ часов дня, Маша была в одной точке шоссе с Ваней в момент, когда часы показывали $14$ часов, а скорость бега всех участников была постоянной и различной для каждого?
Ответ:
Решение:
Из пункта $A$ в пункт $B$ в 8:00 выехал велосипедист, а через некоторое время из $B$ в $A$ вышел пешеход. Велосипедист прибыл в $B$ через 6 часов после выхода оттуда пешехода. Пешеход пришёл в $A$ в 17:00 того же дня. Скорости велосипедиста и пешехода постоянны. Какую долю пути из $A$ в $B$ проехал велосипедист до его встречи с пешеходом?
Ответ:
Решение:
Ваня опаздывал в школу и, поднимаясь бегом по эскалатору, не сразу заметил, что в момент, когда он ступил на эскалатор, из его сумки выпал учебник. Обнаружив пропажу, Ваня побежал вниз с удвоенной скоростью и через 20 секунд поднял книжку, оказавшись в этот момент ровно посередине эскалатора. От бега Ваня устал и остаток пути провёл стоя. Сколько времени провёл Ваня на эскалаторе?
Ответ:
Решение:
Коля сел играть в WoW в момент, когда часовая и минутная стрелка были противоположны. Он закончил играть через целое число минут, причём в момент окончания минутная стрелка совпала с часовой. Сколько времени он играл (если известно, что он играл меньше 12 часов)?
Ответ:
Решение:
Стрелочные часы показывают ровно час. Комар и муха сидят на одинаковом расстоянии от центра на часовой и минутной стрелках соответственно. Когда стрелки совпадают, насекомые меняются местами. Во сколько раз расстояние, которое за полсуток преодолел комар, больше расстояния, которое преодолела за это же время муха?
Ответ:
Решение:
Семейство Дурслей скрывает Гарри Поттера на острове, который находится на расстоянии 9 км от берега. Берег прямолинейный. На берегу, в 15 километрах от той точки берега, которая ближе всего к острову, находится Хагрид на волшебном мотоцикле, и он хочет добраться до Гарри как можно быстрее. По побережью мотоцикл едет со скоростью 50 км/час, а над морем летит со скоростью 40 км/час. План у Хагрида такой: сначала проехать $X$ километров по побережью, а потом взять курс напрямик на остров. Какое значение $X$ наилучшим образом подходит для целей Хагрида?
Ответ:
Решение:
В бескрайних калмыцких степях мама отправила маленькую дочку навестить бабушку. У девочки не было ни навигатора, ни компаса, а только часы, которыми она ещё не умела пользоваться, но у которых был ежечасный звуковой сигнал. Зная обычную скорость их любимого верблюда, мама рассчитала маршрут для дочки. Отправляя её в путь при звуковом сигнале часов в направлении, соответствующем положению солнца в этот момент, велела через час (по очередному сигналу часов) изменить направление движения в соответствии с новым положением солнца. Так в конце концов девочка и доехала бы до бабушки. Но, когда пришло время менять направление, девочка заметила далеко впереди юрту своей подружки, она продолжила движение, не меняя направления, доехала до подружки и проговорила с ней 21 минуту, пока не прозвучал следующий сигнал часов. Тогда она вспомнила наставление матери и продолжила путь в направлении, соответствующем новому положению солнца. Как ни странно, до бабушки она доехала. Сколько всего времени (в минутах) она на это потратила?
Ответ:
Решение: