Докажите, что при любых натуральных $0\lt k\lt m\lt n$ числа $C_n^k$ и $C_n^m$ не взаимно просты. ($C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ — число способов выбрать $k$ элементов из $n$ различных элементов без учёта порядка.)
Ответ:
Решение:
Петя загадал положительную несократимую дробь $x=\dfrac{m}{n}$. За один ход Вася называет положительную несократимую дробь $y$, не превосходящую 1, и Петя в ответ сообщает Васе числитель несократимой дроби, равной сумме $x+y$. Как Васе за два хода гарантированно узнать $x$?
Ответ:
Решение:
Докажите, что в таблице $8\times8$ нельзя расставить натуральные числа от $1$ до $64$ (каждое по одному разу) так, чтобы в ней для любого квадрата $2\times2$ вида \[\begin{array}{|c|c|}\hline a&b\\\hline c&d\\\hline\end{array}\] было выполнено равенство $|ad-bc|=1$.
Ответ:
Решение:
Для каждого целого положительного $x$ найти наибольший общий делитель чисел $P_1(x)=x^3+5x^2+4x+15$ и $P_2(x)=x^4+5x^3+15x+3$.
Ответ:
Решение:
Определите какое наименьшее значение может принимать НОК четырёх натуральных чисел, если их сумма равна 2023.
Ответ:
Решение:
Известно, что $4001$ — простое число. Найдите все натуральные $n$, при которых \[ n(n+4001) \] является квадратом натурального числа.
Ответ:
Решение:
Натуральные числа $a$, $b$ и $c$ таковы, что \[ \text{НОК}(a,b)=60\quad\text{и}\quad\text{НОК}(a,c)=270 \] ($\text{НОК}(x,y)$ — наименьшее общее кратное чисел $x$ и $y$.) Найдите $\text{НОК}(b,c)$.
Ответ:
Решение:
На клетчатой бумаге отмечен прямоугольник размером $m\times n$ клеток, причём числа $m$ и $n$ взаимно просты и $m\lt n$. Диагональ этого прямоугольника не пересекает ровно 116 его клеток. Найдите все возможные значения $m$ и $n$ при данных условиях.
Ответ:
Решение:
Найти наибольшее значение выражения \[ F=\dfrac{(5n-18)\,\text{НОД}(n+9,n+2)}{\text{НОК}(n+9,n+2)} \] на множестве натуральных чисел. При каком $n$ оно достигается?
Ответ:
Решение:
Сколько существует натуральных чисел $n\leqslant 2020$, для которых дробь $\frac{6n^3+n^2-5n+12}{6n^2+7n+2}$ сократимая?
Ответ:
Решение:
Доказать, что существует набор натуральных чисел $a_1,a_2,\ldots,a_{2019}$, для которых \[ 2\cdot\text{НОК}\,(a_1,a_2,\ldots,a_{2019})=a_1+a_2+\ldots+a_{2019}. \]
Ответ:
Решение:
Известно, что дробь $\frac{m(n+69m)}{n(m+69n)}$ сократимая для некоторых взаимно простых целых чисел $m$ и $n$. Найти наибольшее простое число $d$, на которое делится числитель и знаменатель дроби.
Ответ:
Решение:
Найдите все пары натуральных чисел $(a;b)$ такие, что \[ \begin{cases} 4\cdot\min(a;b)=3(a-b)^2,\\ 3\cdot\max(a;b)=\text{НОК}(a;b). \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Найдите количество троек натуральных чисел $(a;b;c)$, удовлетворяющих системе уравнений \[ \begin{cases} \text{НОД}(a;b;c)=6,\\ \text{НОК}(a;b;c)=2^{15}\cdot 3^{16}. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
На доске написаны числа $2^2 3^{14} 5^3 7^{12}$ и $2^{11} 3^2 5^{12} 7^2$. За одну операцию разрешается написать на доску ещё одно натуральное число — разность каких-то двух написанных на доске. При этом запрещается записывать такие числа, которые уже есть на доске. Найдите сумму двух наименьших чисел, которые могут получиться на доске в результате применения таких операций.
Ответ:
Решение:
Прямоугольный параллелепипед $35\times 40\times 56$, разбитый на $78400$ единичных кубиков, проткнули иглой по его диагонали. Сколько единичных кубиков протыкает игла?
Ответ:
Решение:
Какие значения может принимать наибольший общий делитель натуральных чисел $m$ и $n$, если при увеличении числа $m$ на 6 он увеличивается в 4 раза?
Ответ:
Решение:
Сколько существует пар натуральных чисел $(a,b)$, у которых $\text{НОК}(a,b)=2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7^2=17640$, а $\text{НОД}(a,b)=12$? Среди всех таких пар указать ту, для которой $a+b$ принимает минимально возможное значение и найти это значение (пары $(a,b)$ и $(b,a)$ считать за одну).
Ответ:
Решение:
Сколько различных пар целых чисел $x$ и $y$, $1\leqslant x\leqslant 100$, $1\leqslant y\leqslant 100$ удовлетворяют уравнению $\text{НОД}\,(\log_2 x, 36)=\log_3^2 y$? Найти эти пары.
Ответ:
Решение:
Найти целые положительные $n$, при которых уравнение $x^2-a_nx-a_{n+1}=0$ имеет рациональные корни, где $a_n=\text{НОД}(6,n)$.
Ответ:
Решение: