Каково наибольшее количество последовательных натуральных чисел, у каждого из которых ровно четыре натуральных делителя (включая 1 и само число)?
Ответ:
Решение:
Сколько существует чисел, в 23 раза больших своего наименьшего собственного делителя? (Делитель собственный — если он больше 1, но меньше самого числа.)
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $V$ все рёбра имеют целую длину (в сантиметрах). Петя выбрал одну из вершин параллелепипеда $V$ и посчитал площади трёх граней, содержащих эту вершину. Оказалось, что наибольшая из площадей равна 240 см$^2$, а наименьшая — 24 см$^2$. Обозначим $x$ см$^2$ площадь оставшейся грани. Найдите сумму всех возможных значений $x$.
Ответ:
Решение:
Петя задумал составное натуральное число $N$, меньшее 1000. Он выписал на доску все натуральные делители $N$, не равные 1. Оказалось, что два наименьших числа на доске различаются на 39. Чему может быть равно $N$? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:
В течение нескольких дней Дима ходил в кафе и каждый раз выбирал там себе комбо-обед. При заказе комбо-обеда нужно выбрать один из нескольких супов, один из нескольких салатов и одно из 13 горячих блюд. За все дни каждый из возможных комбо-обедов Дима либо заказывал 1 раз, либо не заказывал вовсе. Известно, что один вид горячего он заказывал ровно 1 раз, второй вид — ровно 2 раза, …, тринадцатый вид — ровно 13 раз, а каждую возможную комбинацию «суп + салат» он попробовал ровно 1 раз. Известно, что салатов больше, чем супов. Сколько супов предлагается на выбор при заказе комбо-обеда? Сколько салатов предлагается на выбор при заказе комбо-обеда?
Ответ:
Решение:
Учитель написал на доске четыре различных целых числа. Отличник Паша перемножил какие-то три из них и получил 37, а отличник Ваня перемножил какие-то три из них и получил 74. Какое наименьшее значение может принимать сумма четырёх чисел на доске?
Ответ:
Решение:
В течение учебного полугодия на уроках математики учеников 4 «А» класса вызывали к доске суммарно 84 раза. Все мальчики выходили к доске одинаковое число раз, и все девочки — одинаковое число раз, но на 1 меньше, чем мальчики. Какое наименьшее количество детей могло учиться в этом классе, если известно, что мальчики выходили к доске суммарно столько же раз, сколько и девочки?
Ответ:
Решение:
На окружности красным цветом записали четыре различных натуральных числа. На дуге между каждыми двумя соседними красными числами записали синим цветом их произведение. Известно, что сумма всех четырёх синих чисел равна 1133. Найдите сумму всех красных чисел.
Ответ:
Решение:
Паша выписал в порядке возрастания все натуральные делители натурального числа $k$ и их пронумеровал: первый, второй, …
Паша заметил, что если шестой делитель умножить на тринадцатый делитель, то получится исходное число $k$.
Сколько натуральных делителей имеет число $k$?
Паша заметил, что если шестой делитель умножить на тринадцатый делитель, то получится исходное число $k$.
Сколько натуральных делителей имеет число $k$?
Ответ:
Решение:
У Леонида есть белый клетчатый прямоугольник. Сначала он покрасил в серый цвет все столбцы через один, начиная с самого левого, а затем все строки через одну, начиная с самой верхней. Все клетки, примыкающие к границе прямоугольника, оказались закрашены.
Сколько закрашенных клеток могло получиться в прямоугольнике, если белых клеток осталось 74? Укажите все возможные варианты.
Пример раскраски прямоугольника $5\times7$ изображён ниже.
Сколько закрашенных клеток могло получиться в прямоугольнике, если белых клеток осталось 74? Укажите все возможные варианты.
Пример раскраски прямоугольника $5\times7$ изображён ниже.
Ответ:
Решение:
Для натурального числа $a$ произведение $1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot a$ обозначается как $a!$.
1. Найдите наименьшее натуральное число $m$ такое, что $m!$ делится на $23m$.
2. Найдите наименьшее натуральное число $n$ такое, что $n!$ делится на $33n$.
1. Найдите наименьшее натуральное число $m$ такое, что $m!$ делится на $23m$.
2. Найдите наименьшее натуральное число $n$ такое, что $n!$ делится на $33n$.
Ответ:
Решение:
Представьте число 32 как произведение трёх целых множителей, сумма которых равна 3. Чему равен меньший из множителей?
Ответ:
Решение:
Натуральное число $n$ назовём хорошим, если 2020 при делении на $n$ даёт остаток 22. Сколько существует хороших чисел?
Ответ:
Решение:
Натуральное число $n$ назовём интересным, если $2n$ является точным квадратом, а $15n$ — точным кубом. Найдите наименьшее интересное число.
Ответ:
Решение:
По определению $n!=1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot n$. Докажите, что выражение $1008!\cdot1009!\cdot2017!\cdot2018!$ не является квадратом натурального числа.
Ответ:
Решение:
Найдите какую-нибудь пару натуральных чисел $a$ и $b$, б\'{о}льших 1, удовлетворяющих уравнению $a^{13}\cdot b^{31}=6^{2015}$.
Ответ:
Решение:
Если разделить 2014 на 105, то в частном получится 19 и в остатке тоже 19. На какие ещё натуральные числа можно разделить 2014, чтобы частное и остаток совпали? (Укажите все возможные варианты и докажите, что других нет.)
Ответ:
Решение:
Произведение девяти последовательных натуральных чисел делится на 1111. Какое наименьшее возможное значение может принимать среднее арифметическое этих девяти чисел?
Ответ:
Решение:
На столе лежали карточки с цифрами от 1 до 9 (всего 9 карточек). Катя выбрала четыре карточки так, что произведение цифр на двух из них равно произведению цифр на двух других. Затем Антон забрал ещё одну карточку со стола. В итоге на столе остались лежать карточки с цифрами 1, 4, 5, 8. Карточку с какой цифрой забрал Антон?
Ответ:
Решение: