Среди всех остатков, которые дают степени 2 при делении на нечётное число $m$, большее 1, оказалось ровно $k$ чисел, больших $\dfrac{m}{2}$. Пусть натуральное число $n$ таково, что $2^n-1$ делится на $m$. Докажите, что если число $\dfrac{2^n-1}{m}$ представлено в виде суммы различных целочисленных степеней двойки, то количество слагаемых в такой сумме делится на $k$.
Ответ:
Решение:
У многочлена $P(x)$ все коэффициенты — целые неотрицательные числа. Известно, что $P(1)=4$ и $P(5)=152$. Чему равно $P(11)$?
Ответ:
Решение:
Кощей Бессмертный открыл счет в банке «Спёрбанк». Изначально на счете было 0 рублей. В первый день Кощей кладёт на счёт $k$ ($k\gt 0$) рублей, а каждый следующий день добавляет туда на один рубль больше, чем накануне (на второй день он добавляет $k+1$ рублей, на третий — $k+2$ рубля и т. д.) Каждый раз сразу после того, как Кощей вносит деньги на счёт, общая величина счёта уменьшается банком в два раза. Найдите все такие $k$, при которых сумма на счёте всегда будет выражаться целым числом рублей.
Ответ:
Решение:
Учитель собирается дать детям задачу следующего вида. Он сообщит им, что он задумал многочлен $P(x)$ степени 2017 с целыми коэффициентами, старший коэффициент которого равен 1. Затем он сообщит им $k$ целых чисел $n_1$, $n_2$, $\ldots$, $n_k$ и отдельно сообщит значение выражения $P(n_1)P(n_2)\ldots P(n_k)$. По этим данным дети должны найти многочлен, который мог бы задумать учитель. При каком наименьшем $k$ учитель сможет составить задачу такого вида так, чтобы многочлен, найденный детьми, обязательно совпал бы с задуманным?
Ответ:
Решение:
Назовём многочлен $P(x)$ бицелозначным, если числа $P(k)$ и $P'(k)$ целые при любом целом $k$. Пусть $P(x)$ — бицелозначный многочлен степени $d$, и пусть $N_d$ — произведение всех составных чисел, не превосходящих $d$ (произведение пустого множества сомножителей считаем равным 1). Докажите, что старший коэффициент многочлена $N_d\cdot P(x)$ — целый.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости вершины выпуклого четырехугольника имеют целые координаты и лежат на графике многочлена с целыми коэффициентами. Докажите, что если диагонали этого четырехугольника перпендикулярны, то они равны между собой.
Ответ:
Решение:
Дан многочлен $f$ третьей степени с целыми коэффициентами, причём старший коэффициент $f$ равен 1 или $-1$. Известно, что $f$ имеет три различных корня, каждый из которых равен квадрату натурального числа. Докажите, что в последовательности значений $|f(1)|$, $|f(2)|$, $|f(3)|$ и т. д. встретится квадрат натурального числа.
Ответ:
Решение:
Возрасты трёх братьев — это различные натуральные числа. Произведение их возрастов сейчас равно 18. А через год произведение их возрастов будет равно 60. Сколько лет среднему брату сейчас?
Ответ:
Решение:
В доме на всех этажах во всех подъездах равное количество квартир (больше одной). Также во всех подъездах поровну этажей. При этом количество этажей больше количества квартир на этаже, но меньше, чем количество подъездов. Сколько в доме этажей, если всего квартир 715?
Ответ:
Решение:
На столе лежали карточки с цифрами от 1 до 9 (всего 9 карточек). Катя выбрала четыре карточки так, что произведение цифр на двух из них равно произведению цифр на двух других. Затем Антон забрал ещё одну карточку со стола. В итоге на столе остались лежать карточки с цифрами 1, 4, 5, 8. Карточку с какой цифрой забрал Антон?
Ответ:
Решение:
Произведение девяти последовательных натуральных чисел делится на 1111. Какое наименьшее возможное значение может принимать среднее арифметическое этих девяти чисел?
Ответ:
Решение:
Если разделить 2014 на 105, то в частном получится 19 и в остатке тоже 19. На какие ещё натуральные числа можно разделить 2014, чтобы частное и остаток совпали? (Укажите все возможные варианты и докажите, что других нет.)
Ответ:
Решение:
Найдите какую-нибудь пару натуральных чисел $a$ и $b$, б\'{о}льших 1, удовлетворяющих уравнению $a^{13}\cdot b^{31}=6^{2015}$.
Ответ:
Решение:
По определению $n!=1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot n$. Докажите, что выражение $1008!\cdot1009!\cdot2017!\cdot2018!$ не является квадратом натурального числа.
Ответ:
Решение:
Натуральное число $n$ назовём интересным, если $2n$ является точным квадратом, а $15n$ — точным кубом. Найдите наименьшее интересное число.
Ответ:
Решение:
Натуральное число $n$ назовём хорошим, если 2020 при делении на $n$ даёт остаток 22. Сколько существует хороших чисел?
Ответ:
Решение:
Представьте число 32 как произведение трёх целых множителей, сумма которых равна 3. Чему равен меньший из множителей?
Ответ:
Решение:
Для натурального числа $a$ произведение $1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot a$ обозначается как $a!$.
1. Найдите наименьшее натуральное число $m$ такое, что $m!$ делится на $23m$.
2. Найдите наименьшее натуральное число $n$ такое, что $n!$ делится на $33n$.
1. Найдите наименьшее натуральное число $m$ такое, что $m!$ делится на $23m$.
2. Найдите наименьшее натуральное число $n$ такое, что $n!$ делится на $33n$.
Ответ:
Решение:
У Леонида есть белый клетчатый прямоугольник. Сначала он покрасил в серый цвет все столбцы через один, начиная с самого левого, а затем все строки через одну, начиная с самой верхней. Все клетки, примыкающие к границе прямоугольника, оказались закрашены.
Сколько закрашенных клеток могло получиться в прямоугольнике, если белых клеток осталось 74? Укажите все возможные варианты.
Пример раскраски прямоугольника $5\times7$ изображён ниже.
Сколько закрашенных клеток могло получиться в прямоугольнике, если белых клеток осталось 74? Укажите все возможные варианты.
Пример раскраски прямоугольника $5\times7$ изображён ниже.
Ответ:
Решение:
Паша выписал в порядке возрастания все натуральные делители натурального числа $k$ и их пронумеровал: первый, второй, …
Паша заметил, что если шестой делитель умножить на тринадцатый делитель, то получится исходное число $k$.
Сколько натуральных делителей имеет число $k$?
Паша заметил, что если шестой делитель умножить на тринадцатый делитель, то получится исходное число $k$.
Сколько натуральных делителей имеет число $k$?
Ответ:
Решение: