Уравнение $x^3+7x^2-42x+a=0$ имеет три различных корня, которые образуют геометрическую прогрессию. Найдите все возможные значения параметра $a$. Если их несколько, в ответ запишите наибольшее из них.
Ответ:
Решение:
Сколько существует квадратных трёхчленов вида \[x^2+ax+b\] с целыми корнями, у которых $a+b=19$.
Ответ:
Решение:
Свободный член квадратного трёхчлена увеличили на $3$, в результате чего квадрат разности его корней уменьшился на $2$. Затем к свободному члену полученного трёхчлена прибавили число $d$, и квадрат разности его корней уменьшился ещё на $4$. Найдите $d$.
Ответ:
Решение:
Попарно различные натуральные числа $m$, $n$, $k$ таковы, что \[ m+n+k=301. \] Найдите наибольшее возможное значение суммы корней уравнения $2x^2+(m+k)n=(m+2n+k)x$.
Ответ:
Решение:
Пусть $a$, $b$, $c$ — три попарно различных ненулевых числа. Для каждой пары из чисел $0$, $a$, $b$ и $c$ выписывается приведённый квадратный трёхчлен, корнями которого является эта пара чисел. Обозначим полученные трёхчлены $f_1, f_2, \ldots, f_6$. Пусть $f=f_1+f_2+\ldots+f_6$. Найдите сумму $S=a^2+b^2+c^2$, если $f(0)=11$, а $f(1)=-1$. (Сами числа $a$, $b$ и $c$ не даны.)
Ответ:
Решение:
Известно, что если уменьшить каждый из корней уравнения $x^2+bx+c=0$ на $5$, полученные числа будут корнями уравнения $x^2+cx+b=0$. Какое наименьшее значение может принимать произведение всех четырёх корней этих уравнений?
Ответ:
Решение:
Пусть $a$, $b$, $c$ — три попарно различных числа. Для каждой пары из чисел $a$, $b$ и $c$ выписывается приведённый квадратный трёхчлен, корнями которого является эта пара чисел. Обозначим полученные трёхчлены $f_1$, $f_2$, $f_3$. Найдите сумму $S=a^2+b^2+c^2$, если наименьшее значение трёхчлена $f=f_1+f_2+f_3$ равно $-1$, а $f(0)=11$. (Сами числа $a$, $b$ и $c$ не даны.)
Ответ:
Решение:
Известно, что если уменьшить каждый из корней уравнения $x^2+bx+c=0$ на 3, полученные числа будут корнями уравнения $x^2+cx+b=0$. Каждый из четырёх корней этих двух уравнений увеличили на 1. Найдите произведение полученных четырёх чисел. (Сами числа $b$ и $c$ не даны.)
Ответ:
Решение:
Пусть для некоторого $\alpha$ уравнение $ax^2+bx+c=0$ имеет два различных корня $x_1=\cos\alpha$ и $x_2=\sin\alpha$. Какое наименьшее значение может принимать $b$, если $a+2c=\dfrac{9}{a}$?
Ответ:
Решение:
Известно, что если уменьшить каждый из корней уравнения $x^2+bx+c=0$ на $3$, то полученные числа будут корнями уравнения $x^2+cx+b=0$. Найдите сумму всех четырёх корней этих уравнений.
Ответ:
Решение:
Многочлен $P(x)=x^3+ax^2+bx+c$ имеет три корня, равные попарным суммам корней многочлена $Q(x)=x^3+2x^2-3x-1$. Найти $a$, $b$, $c$.
Ответ:
Решение:
Прямая проходит через точку с координатами $(10,0)$ и пересекает параболу $y=x^2$ в точках с абсциссами $x_1$ и $x_2$. Найдите $\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}$.
Ответ:
Решение:
Различные целые числа $m$ и $n$ таковы, что числа $\left(\dfrac1m-2\right)$ и $\left(\dfrac1n-2\right)$ являются корнями квадратного трёхчлена $x^2+ax+b$ с целыми коэффициентами. Найти все возможные значения выражения $a+b$.
Ответ:
Решение:
Найдите $a$ такое, что сумма квадратов действительных корней уравнения $x^4+ax^2-2017=0$ равна 4.
Ответ:
Решение:
Найдите сумму $\frac1x+\frac1y+\frac1z$, если известно, что три различных действительных числа $x$, $y$ и $z$ удовлетворяют условиям: \[ x^3+1009=2018x,\quad y^3+1009=2018y,\quad z^3+1009=2018z. \]
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное число $q$, для которого существует такое целое число $p$, что уравнение $x^4+px^2+q=0$ имеет четыре корня, образующих арифметическую прогрессию.
Ответ:
Решение:
Учитель выписал на доске квадратное уравнение \[ x^2+ax+2022=0. \] Андрей подставил вместо $a$ по очереди все целые числа от $0$ до $99$ и решил все из получившихся $100$ уравнений. Найдите сумму всех получившихся у Андрея действительных корней этих уравнений. При необходимости округлите ответ до сотых.
Ответ:
Решение:
Алёша написал на доске $5$ целых чисел — коэффициенты и корни квадратного трёхчлена. Боря стёр одно из них. Остались числа $2$, $3$, $4$, $-5$ в каком-то порядке. Восстановите стёртое число и докажите, что было написано именно оно.
Ответ:
Решение:
Квадратный трёхчлен $x^2+bx+c$ имеет два действительных корня. Каждый из трёх его коэффициентов (включая коэффициент при $x^2$) увеличили на $1$. Могло ли оказаться, что оба корня трёхчлена также увеличились на $1$?
Ответ:
Решение:
Найти сумму квадратов корней уравнения: \[ \left(x^2+4x\right)^2-2016\left(x^2+4x\right)+2017=0. \]
Ответ:
Решение: