Петя предлагает Васе сыграть в следующую игру. Петя дает Васе две коробки с конфетами. В каждой из двух коробок шоколадные конфеты и карамельки. Всего в обеих коробках 25 конфет. Петя предлагает Васе взять из каждой коробки по конфете. Если обе конфеты окажутся шоколадными, то Вася выиграл. В противном случае выиграл Петя. Вероятность того, что Васе достанутся две карамельки, равна $0{,}54$. У кого больше шансов на победу?
Ответ:
Решение:
Проезд в маршрутке стоит 75 рублей. Пятнадцать пассажиров заходят поодиночке и между собой деньгами не меняются. С вероятностью $0{,}5$ пассажир даёт водителю купюру 100 рублей и получает 25 рублей сдачи монетами по 5 или 10 рублей, а с вероятностью $0{,}5$ пассажир даёт водителю 50 рублей одной купюрой и 25 рублей монетами.
а) Перед рейсом у водителя монет не было вообще. Какова вероятность того, что водитель сможет немедленно дать сдачу каждому, кто расплачивается купюрой 100 рублей?
б) Какую сумму монетами должен иметь водитель перед выездом, чтобы с вероятностью не менее $0{,}95$ иметь возможность немедленно дать сдачу всем пассажирам, расплатившимся сторублёвкой?
а) Перед рейсом у водителя монет не было вообще. Какова вероятность того, что водитель сможет немедленно дать сдачу каждому, кто расплачивается купюрой 100 рублей?
б) Какую сумму монетами должен иметь водитель перед выездом, чтобы с вероятностью не менее $0{,}95$ иметь возможность немедленно дать сдачу всем пассажирам, расплатившимся сторублёвкой?
Ответ:
Решение:
Правильная игральная кость бросается много раз. Известно, что в какой-то момент сумма очков стала равна ровно 2010. Найдите математическое ожидание числа бросков, сделанных к этому моменту.
Ответ:
Решение:
Вершины правильного 25-угольника пронумерованы по порядку. В первой вершине находится крупинка сахара, а в третьей вершине сидит муравей. В какой-то момент он начинает беспорядочно ползать из вершины в вершину. Ровно за одну минуту он переползает из вершины, где находился, в соседнюю вершину. Направление дальнейшего движения в каждой вершине он выбирает случайно. Блуждание заканчивается, как только муравей найдет крупинку сахара. Найдите математическое ожидание случайной величины «продолжительность блуждания».
Ответ:
Решение:
Три мухи одновременно садятся на равносторонний треугольник — по одной мухе в каждую вершину. Каждую минуту после этого каждая муха моментально перелетает в другую вершину, выбирая её случайным образом независимо от других мух и предыдущих перелётов. Одновременно в вершине может оказаться больше одной мухи. Найдите математическое ожидание величины «время, через которое все три мухи окажутся в одной вершине».
Ответ:
Решение:
В круг встали 10 матросов, у каждого в руке поднятый флажок. Каждую секунду один случайный матрос, независимо от предыдущих событий, опускает свой флажок (если он был поднят) или поднимает (если флажок был опущен). Докажите, что событие «через некоторое время все флажки снова будут подняты» имеет вероятность 1.
Ответ:
Решение:
На новогоднем столе в ряд стоят 4 бокала: первый и третий с апельсиновым соком, а второй и четвертый — пустые. В ожидании гостей Валя рассеянно и случайно переливает сок из одного бокала в другой. За один раз она может взять полный бокал и перелить из него все содержимое в какой-нибудь из двух пустых бокалов.
Найдите математическое ожидание числа переливаний, в результате которых первый раз получится все наоборот: первый и третий будут пусты, а второй и четвертый — полны.
Найдите математическое ожидание числа переливаний, в результате которых первый раз получится все наоборот: первый и третий будут пусты, а второй и четвертый — полны.
Ответ:
Решение:
В январе доктор дал Рассеянному Ученому упаковку с 10 таблетками от рассеянности. Ученый хранит таблетки в шкафчике. Когда Ученого одолевает приступ рассеянности (а это бывает несколько раз в неделю в случайные моменты времени), он открывает шкафчик, берет с полочки упаковку, принимает таблетку и смотрит, сколько всего таблеток от рассеянности у него осталось. Если Ученый видит, что у него осталась только одна таблетка, он немедленно заказывает точно такую же новую упаковку в аптеке с моментальной доставкой и тут же кладет ее в тот же шкафчик на ту же полочку.
Если Ученый видит, что очередная упаковка опустела, он тут же ее выбрасывает в мусорное ведро.
Какова вероятность того, что в 10 часов утра 31 декабря у Рассеянного Ученого в шкафчике будет ровно две упаковки с таблетками от рассеянности?
Если Ученый видит, что очередная упаковка опустела, он тут же ее выбрасывает в мусорное ведро.
Какова вероятность того, что в 10 часов утра 31 декабря у Рассеянного Ученого в шкафчике будет ровно две упаковки с таблетками от рассеянности?
Ответ:
Решение:
Имитировать случайные процессы человеку трудно. Даже серию бросаний монеты придумать «из головы» почти невозможно. Одна из причин в том, что в длинной серии человек подсознательно старается не допустить «слишком много» орлов или решек подряд. В действительно случайной серии, как правило, встречаются довольно длинные группы, состоящие только из орлов или только из решек. Например, при 100 бросаниях монеты, скорее всего (с вероятностью около 0,54), встретятся 7 орлов или 7 решек подряд, а математическое ожидание наибольшей длины такой группы равно приблизительно 6,98.
Если монета $k$ раз подряд выпала одной и той же стороной вверх, будем называть такую подпоследовательность группой длины $k$.
Например, в последовательности ОРРРООРР четыре группы, длины которых равны 1, 3, 2 и 2.
Обозначим $p_{n,k}$ вероятность того, что в серии из $n$ бросаний симметричной монеты содержится группа длины $k$ или больше ($k\lt n$). Выведите рекуррентную формулу $$p_{n,k}=p_{n-1,k}-\frac{1}{2^k}\,p_{n-k,k}+\frac{1}{2^k}.$$
Если монета $k$ раз подряд выпала одной и той же стороной вверх, будем называть такую подпоследовательность группой длины $k$.
Например, в последовательности ОРРРООРР четыре группы, длины которых равны 1, 3, 2 и 2.
Обозначим $p_{n,k}$ вероятность того, что в серии из $n$ бросаний симметричной монеты содержится группа длины $k$ или больше ($k\lt n$). Выведите рекуррентную формулу $$p_{n,k}=p_{n-1,k}-\frac{1}{2^k}\,p_{n-k,k}+\frac{1}{2^k}.$$
Ответ:
Решение:
Производитель шоколадных яиц с игрушкой внутри объявил, что выпускается новая коллекция «Нильская семейка», в которой десять разных обаятельных крокодилов. Крокодилы равномерно и случайно распределены по шоколадным яйцам, то есть в случайно выбранном яйце каждый из крокодилов может оказаться с вероятностью 0,1.
Близнецы Лёша и Гоша захотели собрать две коллекции — по одной на брата. Каждый день мама покупает им по одному яйцу. Наступил момент, когда первая коллекция была, наконец, собрана.
Обозначим $p_k$ вероятность того, что к моменту завершения первой коллекции во второй коллекции недостаёт ровно $k$ крокодилов.
а) Докажите, что $p_1=p_2$.
б) Докажите, что: $p_2\gt p_3\gt p_4\gt \ldots\gt p_{10}$.
Близнецы Лёша и Гоша захотели собрать две коллекции — по одной на брата. Каждый день мама покупает им по одному яйцу. Наступил момент, когда первая коллекция была, наконец, собрана.
Обозначим $p_k$ вероятность того, что к моменту завершения первой коллекции во второй коллекции недостаёт ровно $k$ крокодилов.
а) Докажите, что $p_1=p_2$.
б) Докажите, что: $p_2\gt p_3\gt p_4\gt \ldots\gt p_{10}$.
Ответ:
Решение:
Правильную игральную кость бросают до тех пор, пока сумма последовательно выпадающих очков не достигнет числа 2019 (станет равна 2019 или больше). Докажите, что вероятность события «при последнем броске выпадет 6 очков» больше, чем $\frac{1}{6}$.
Утверждение задачи выглядит парадоксально — последний бросок ничем не хуже никакого из предыдущих и не зависит от них. Казалось бы, число 6 выпадает с вероятностью $\frac{1}{6}$ независимо от того, первый это бросок или последний.
Утверждение задачи выглядит парадоксально — последний бросок ничем не хуже никакого из предыдущих и не зависит от них. Казалось бы, число 6 выпадает с вероятностью $\frac{1}{6}$ независимо от того, первый это бросок или последний.
Ответ:
Решение:
У кота Базилио и лисы Алиса не осталось ни сольдо. И тогда они нанялись ставить и убирать декорации в театре Карабаса-Барабаса. Каждый вечер после спектакля Карабас даёт им монету в один сольдо, и между котом и лисой немедленно начинается драка.
С вероятностью 0,25 побеждает кот и забирает монету себе, с вероятностью 0,25 побеждает лиса и забирает монету себе, а с вероятностью 0,5 обоих отводят в полицию и отбирают у них все деньги (не только сегодняшние, а вообще все). Вопрос: на сколько сольдо у одного из компаньонов окажется больше, чем у другого к концу 10-го дня подработки (модуль разности их состояний)? Найдите математическое ожидание этой величины.
С вероятностью 0,25 побеждает кот и забирает монету себе, с вероятностью 0,25 побеждает лиса и забирает монету себе, а с вероятностью 0,5 обоих отводят в полицию и отбирают у них все деньги (не только сегодняшние, а вообще все). Вопрос: на сколько сольдо у одного из компаньонов окажется больше, чем у другого к концу 10-го дня подработки (модуль разности их состояний)? Найдите математическое ожидание этой величины.
Ответ:
Решение:
Каждое утро Рассеянный Учёный идёт на работу, а вечером — домой. Всего у Учёного два зонтика, и Учёный берёт один из них с собой только в одном из двух случаев: либо на улице дождь, либо там, куда он идёт, зонтика нет. Через некоторое время Учёный подсчитал (а мы помним, что Рассеянный Учёный всё подсчитывает), что он берёт с собой зонтик в 20 % случаев. Найдите вероятность дождя.
Ответ:
Решение:
Две хоккейные команды одинаковой силы договорились, что будут играть до тех пор, пока суммарный счёт не достигнет 10. Найдите математическое ожидание числа моментов, когда наступала ничья.
Ответ:
Решение:
Идет обычный футбольный матч. Ничья возможна. Время ожидания очередного гола не зависит от предыдущих событий матча. Известно, что математическое ожидание общего числа голов в футбольных матчах этих команд равно 2,8. Найдите вероятность того, что в течение матча будет забито четное число голов.
Ответ:
Решение:
Вдоль дороги стоит 9 фонарей. Если перегорел один из них, а соседние светят, то дорожная служба не беспокоится. Но если перегорают два фонаря подряд, то дорожная служба сразу меняет все перегоревшие фонари. Каждый фонарь перегорает независимо от других.
а) Найдите вероятность того, что при очередной замене придется поменять ровно 4 фонаря.
б) Найдите математическое ожидание числа фонарей, которые придется поменять при очередной замене.
а) Найдите вероятность того, что при очередной замене придется поменять ровно 4 фонаря.
б) Найдите математическое ожидание числа фонарей, которые придется поменять при очередной замене.
Ответ:
Решение:
Рассеянный Ученый в своей лаборатории вывел одноклеточный организм, который с вероятностью 0,6 делится на два таких же организма, а с вероятностью 0,4 погибает, не оставив потомства. Найдите вероятность того, что через некоторое время у Рассеянного Ученого не останется ни одного такого организма.
Ответ:
Решение:
В зимнем лагере в комнате живут Ваня и Гриша. Каждый вечер они бросают жребий, кому гасить свет перед сном: дело в том, что выключатель около двери, и проигравшему приходится идти к кровати в полной темноте, натыкаясь на стулья.
Обычно Ваня и Гриша бросают жребий без затей, но в этот раз Гриша придумал особенный жребий:
— Давай бросать монету. Если при каком-то чётном броске выпадет орёл, то дальше монету не бросаем: я выиграл. Если же при каком-то нечётном броске выпадет решка, то выиграл ты.
а) Какова вероятность выигрыша Гриши?
б) Найдите математическое ожидание числа бросков монеты до окончания жребия.
Обычно Ваня и Гриша бросают жребий без затей, но в этот раз Гриша придумал особенный жребий:
— Давай бросать монету. Если при каком-то чётном броске выпадет орёл, то дальше монету не бросаем: я выиграл. Если же при каком-то нечётном броске выпадет решка, то выиграл ты.
а) Какова вероятность выигрыша Гриши?
б) Найдите математическое ожидание числа бросков монеты до окончания жребия.
Ответ:
Решение:
Случилось так, что у Рассеянного Учёного осталось только 20 рублей, а ему нужно купить билет на автобус, чтобы ехать домой. Билет стоит 45 р. Рядом с автобусной остановкой продаются билеты моментальной лотереи как раз по 10 р. за штуку. С вероятностью $p=0{,}1$ билет содержит выигрыш 30 р., а других выигрышей нет. Учёный решил рискнуть, поскольку терять ему нечего. Найдите вероятность того, что Рассеянный Учёный сумеет выиграть достаточно денег, чтобы купить билет на автобус.
Ответ:
Решение:
На клавиатуре калькулятора есть цифры от 0 до 9 и знаки двух действий (см. рисунок). Вначале на дисплее написано число 0. Можно нажимать любые клавиши. Калькулятор выполняет действия в последовательности нажатий. Если знак действия нажать подряд несколько раз, то калькулятор запомнит только последнее нажатие. Учёный нажал очень много кнопок в случайной последовательности. Найдите приблизительно вероятность, с которой результат получившейся цепочки действий нечетное число?
Ответ:
Решение: