На бал пришли $n$ семейных пар. В каждой паре муж и жена абсолютно одинакового роста, но двух пар одного роста нет. Начинает звучать вальс, и все пришедшие разбиваются случайным образом на пары: каждый кавалер танцует со случайно выбранной дамой. Найдите математическое ожидание случайной величины $X$ «Число кавалеров, которые ниже своей партнёрши».
Ответ:
Решение:
В торговом центре три автомата продают кофе. В течение дня первый автомат ломается с вероятностью 0,3, второй — с вероятностью 0,2. Каждый вечер приходит инженер Петров и чинит все сломанные автоматы. Однажды Петров написал в отчёте, что математическое ожидание поломок в неделю равно 3,3. Докажите, что Петров преуменьшает.
Ответ:
Решение:
В торговом центре три автомата продают кофе. В течение дня первый автомат ломается с вероятностью 0,4, второй — с вероятностью 0,3. Каждый вечер приходит механик Иванов и чинит все сломанные автоматы. Однажды Иванов написал в отчете, что математическое ожидание поломок в неделю равно 12. Докажите, что Иванов преувеличивает.
Ответ:
Решение:
Рассеянный Учёный сконструировал фонарик с двумя разноцветными лампочками, соединив их параллельно (см. схему). Фонарик перестанет работать, только если перегорят обе лампочки. Математическое ожидание срока службы синей лампочки 3 года, математическое ожидание срока службы красной лампочки 4 года. Зная распределения сроков службы лампочек, Учёный вычислил, что математическое ожидание срока работы фонарика равно 3 года и 7 месяцев. Не ошибся ли Рассеянный Учёный в своих расчётах?
Ответ:
Решение:
Рассеянный Учёный сконструировал фонарик с двумя разноцветными лампочками, соединив их последовательно (см. схему). Если одна из лампочек перегорает, то фонарик перестает работать. Математическое ожидание срока службы синей лампочки 2 года, математическое ожидание срока службы красной лампочки 3 года. Зная распределения сроков службы лампочек, Учёный вычислил, что математическое ожидание срока работы фонарика равно 2 года и 3 месяца. Не ошибся ли Рассеянный Учёный в своих расчётах?
Ответ:
Решение:
Светофор на пешеходном переходе одну минуту разрешает переходить улицу, а две минуты — запрещает. Найдите среднее время ожидания зеленого света пешеходом, который подошел к перекрестку.
Ответ:
Решение:
Вася и Миша выполняли тест, в котором было 20 вопросов одинаковой сложности и к каждому вопросу даны варианты ответов. Поскольку ни Вася, ни Миша ничего не знали, они только угадывали ответы. Вася угадал верные ответы на 6 вопросов, а Миша — на 8 вопросов, не советуясь с Васей. Найдите математическое ожидание числа совпадений, то есть вопросов, где Вася и Миша оба угадали верные ответы или не угадали.
Ответ:
Решение:
Имеется последовательность из тысячи случайных цифр. Перед этой последовательностью поставили ноль и десятичную запятую. Получилось случайное число $X$, записанное десятичной дробью: $X=0{,}x_1x_2x_3\ldots x_{1000}$. Найдите $\mathrm{E}X$.
Ответ:
Решение:
Известно, что 10 % фенов для сушки волос ломаются меньше чем через год после покупки. До двух лет служат 60 % фенов. И ни один фен не доживает до своего третьего дня рождения. Найдите математическое ожидание числа полных лет службы фена.
Ответ:
Решение:
Каждый год в день города чемпион города по шахматам дает сеанс одновременной игры на трех досках трем лучшим игрокам детской шахматной секции. Известно, что в 60 % случаев чемпион выигрывает не больше двух партий из трех, в 10 % случаев — проигрывает не менее двух. И даже бывает так (только 2 % случаев), что чемпион проигрывает все три партии. Найдите математическое ожидание числа выигранных чемпионом партий.
Ответ:
Решение:
Петр Иванович, еще 49 мужчин и 50 женщин в случайном порядке рассаживаются вокруг круглого стола. Назовем мужчину довольным, если рядом с ним сидит женщина. Найдите:
а) вероятность того, что Петр Иванович доволен;
б) математическое ожидание числа довольных мужчин.
а) вероятность того, что Петр Иванович доволен;
б) математическое ожидание числа довольных мужчин.
Ответ:
Решение:
Рассеянный Ученый сконструировал прибор, состоящий из датчика и передатчика. Средний срок (математическое ожидание) службы датчика 3 года, средний срок службы передатчика — 5 лет. Зная распределения срока службы датчика и передатчика, Рассеянный Ученый вычислил, что средний срок службы всего прибора равен 3 года 8 месяцев. Не ошибся ли Рассеянный Ученый в своих расчетах?
Ответ:
Решение:
Вася в ярости режет прямоугольный лист бумаги ножницами. Каждую секунду он разрезает первый попавшийся кусок случайным прямолинейным разрезом на две части.
Примечание. Эту задачу в другой формулировке и в более общем виде придумал и решил академик Андрей Дмитриевич Сахаров. Сахаров писал, что задача возникла, когда он рубил капусту.
а) Найдите математическое ожидание числа сторон многоугольника, который случайно попадется Васе через час такой работы.
б) Решите эту же задачу, если вначале лист бумаги имел форму произвольного многоугольника.
Примечание. Эту задачу в другой формулировке и в более общем виде придумал и решил академик Андрей Дмитриевич Сахаров. Сахаров писал, что задача возникла, когда он рубил капусту.
а) Найдите математическое ожидание числа сторон многоугольника, который случайно попадется Васе через час такой работы.
б) Решите эту же задачу, если вначале лист бумаги имел форму произвольного многоугольника.
Ответ:
Решение:
Ася и Вася вырезают прямоугольники из клетчатой бумаги. Вася ленивый; он кидает игральную кость один раз и вырезает квадрат, сторона которого равна выпавшему числу очков. Ася кидает кость дважды и вырезает прямоугольник с длиной и шириной, равными выпавшим числам. У кого математическое ожидание площади прямоугольника больше?
Ответ:
Решение:
Робот в аптеке собирает заказ. Он находит нужное лекарство в 90 % случаев. Если с первой попытки лекарство найти не удалось, то робот пытается найти его ещё раз. Третьей попытки нет. В заказе 10 различных лекарств. Найдите математическое ожидание количества правильно найденных лекарств.
Ответ:
Решение:
В торговом центре три автомата продают кофе. В течение каждого отдельного дня первый автомат ломается с вероятностью 0,12, а второй — с вероятностью 0,1. Каждый вечер приходит инженер, проверяет все автоматы и чинит сломанные. Однажды инженер подсчитал, что математическое ожидание числа поломок в течение недели равно 2,8. С какой вероятностью в течение дня выходит из строя третий автомат?
Ответ:
Решение:
Катя верно решает пример с вероятностью $\frac{4}{5}$, а волшебная ручка верно решает пример без помощи Кати с вероятностью $\frac{1}{2}$. В контрольной работе 20 примеров, и на четверку достаточно правильно решить 13 из них. Сколько Кате нужно решить примеров самостоятельно, а сколько доверить волшебной ручке, чтобы математическое ожидание числа правильных ответов было не меньше 13?
Ответ:
Решение:
В Долине Пяти Озер есть пять одинаковых озер, некоторые из которых соединены ручьями. Маленькие караси появляются на свет только в озере $S$. Пока карась взрослеет, он ровно четыре раза переходит из одного озера в другое по какому-нибудь ручью (карась выбирает ручей наудачу), а затем остается жить в том озере, в котором оказался. Из каждой тысячи карасей в среднем 375 остается жить в озере $S$, а остальные остаются жить в озере $B$, в других озерах не остается жить никто. Определите, сколько ручьев в Долине Пяти Озер.
Ответ:
Решение:
Города и дороги в Анчурии образуют граф, показанный на рисунке.
Когда в Анчурию приходит сезон дождей, ливни размывают часть дорог, причем каждая дорога размывается с вероятностью $p=0{,}5$ независимо от других дорог. Какова вероятность того, что из города $A$ в город $B$ по-прежнему можно будет проехать по неразмытым дорогам?
Когда в Анчурию приходит сезон дождей, ливни размывают часть дорог, причем каждая дорога размывается с вероятностью $p=0{,}5$ независимо от других дорог. Какова вероятность того, что из города $A$ в город $B$ по-прежнему можно будет проехать по неразмытым дорогам?
Ответ:
Решение:
Города и дороги в Анчурии образуют граф, показанный на рисунке.
Когда в Анчурию приходит сезон дождей, ливни размывают часть дорог, причем каждая дорога размывается с вероятностью $p=0{,}5$ независимо от других дорог. Какова вероятность того, что из любого города в любой другой по-прежнему можно будет проехать по неразмытым дорогам?
Когда в Анчурию приходит сезон дождей, ливни размывают часть дорог, причем каждая дорога размывается с вероятностью $p=0{,}5$ независимо от других дорог. Какова вероятность того, что из любого города в любой другой по-прежнему можно будет проехать по неразмытым дорогам?
Ответ:
Решение: