Про вещественное число $x$ известно, что \[ \sin x+1001\cos x=1000. \] Найдите максимальное значение выражения $|1001\sin x-\cos x|$. Ответ округлите до трёх знаков после запятой.
Ответ:
Решение:
Вычислить значение $\cos^2 2x$ для всех допустимых значений $x$, если \[ \mathrm{tg}^4x-4\,\mathrm{tg}^2x+1=0. \]
Ответ:
Решение:
Выясните, какое из чисел больше: \[\operatorname{arctg}\left(1+\sqrt2\right)+\operatorname{arcctg}\left(1-\sqrt2\right)\quad\text{или}\quad\frac{7\sqrt3}{4}\,.\]
Ответ:
Решение:
Решите уравнение \[ \left(\arcsin\frac35-\arccos\frac45\right)\cdot x+\pi=2\operatorname{arctg}3+\operatorname{arctg}\frac34. \]
Ответ:
Решение:
Известно, что числа $x$, $y$, $z$ образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию с разностью $\alpha=\arccos\left(-\dfrac25\right)$, а числа $3+\sin x$, $3+\sin y$, $3+\sin z$ образуют в указанном порядке непостоянную геометрическую прогрессию. Найдите $\sin y$.
Ответ:
Решение:
Известно, что числа $x$, $y$, $z$ образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию с разностью $\alpha=\arccos\left(-\dfrac37\right)$, а числа $\dfrac{1}{\cos x}$, $\dfrac{7}{\cos y}$, $\dfrac{1}{\cos z}$ также образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Найдите $\cos^2 y$.
Ответ:
Решение:
Числа $x$ и $y$ таковы, что выполняются равенства \[ \mathrm{ctg}\,x-\mathrm{ctg}\,y=2\quad\text{и}\quad 5\sin(2x-2y)=\sin 2x\sin 2y. \] Найдите $\mathrm{tg}\,x\,\mathrm{tg}\,y$.
Ответ:
Решение:
Известно, что \[ \frac{\cos x-\sin x}{\sin y}=\frac{1}{3\sqrt2}\operatorname{ctg}\frac{x+y}{2}\quad\text{и}\quad\frac{\sin x+\cos x}{\cos y}=-6\sqrt2\operatorname{tg}\frac{x+y}{2}. \] Найдите все возможные значения выражения $\operatorname{tg}(x+y)$, если известно, что их не менее трёх.
Ответ:
Решение:
Известно, что \[ \frac{\cos 3x}{(2\cos 2x-1)\cos y}=\frac25+\cos^2(x+y)\quad\text{и}\quad\frac{\sin 3x}{(2\cos 2x+1)\sin y}=\frac35+\sin^2(x+y). \] Найдите все возможные значения выражения $\cos(x+3y)$, если известно, что их не менее двух.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Сравните числа $\dfrac{\sin2016^\circ}{\sin2017^\circ}$ и $\dfrac{\sin2018^\circ}{\sin2019^\circ}$.
Ответ:
Решение:
Можно ли, применяя к числу $2$ функции $\sin$, $\cos$, $\mathrm{tg}$, $\mathrm{ctg}$, $\arcsin$, $\arccos$, $\mathrm{arctg}$, $\mathrm{arcctg}$ в любом количестве и в любом порядке, получить число $2010$?
Ответ:
Решение:
Что больше: \[ \mathrm{tg}\,9^\circ-\mathrm{tg}\,63^\circ+\mathrm{tg}\,81^\circ-\mathrm{tg}\,27^\circ\quad\text{или}\quad\dfrac{200}{157}\pi\,? \]
Ответ:
Решение:
Не используя калькулятора, определите знак числа \[(\cos(\cos 1)-\cos 1)\,(\sin(\sin 1)-\sin 1).\]
Ответ:
Решение:
На доске написано число ноль. Петру разрешается совершать следующие операции:
- применить к одному из написанных на доске чисел тригонометрическую ($\sin$, $\cos$, $\operatorname{tg}$ или $\operatorname{ctg}$) или обратную тригонометрическую ($\arcsin$, $\arccos$, $\operatorname{arctg}$ или $\operatorname{arcctg}$) функцию и написать результат на доске;
- написать на доске частное или произведение двух уже написанных чисел.
Ответ:
Решение:
Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Известно, что $\angle C=57^\circ$, $\sin\angle A+\sin\angle B=\sqrt{2}$ и $\cos\angle A+\cos\angle B=2-\sqrt{2}$. Сколько градусов составляет угол $D$?
Ответ:
Решение:
Известно, что для некоторых $x$ и $y$ суммы $\sin x+\cos y$ и $\sin y+\cos x$ — положительные рациональные числа. Докажите, что найдутся такие натуральные числа $m$ и $n$, что $m\sin x+n\cos x$ — натуральное число.
Ответ:
Решение:
Число $x$ таково, что обе суммы $S=\sin64x+\sin65x$ и $C=\cos64x+\cos65x$ — рациональные числа. Докажите, что в одной из этих сумм оба слагаемых рациональны.
Ответ:
Решение: