Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений \[ \begin{cases} x^2+(2a-2)x+a^2-2a-3=0,\\ \sqrt{x^2+(y-a)^2}+\sqrt{(x+4)^2+(y-a)^2}=4 \end{cases} \] имеет ровно одно решение.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение \[ a|2-x|+\dfrac{x^2-x-6}{3-x}=0 \] имеет ровно одно решение.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых система \[ \begin{cases} |y-3-x|+|y-3+x|=6,\\ (|x|-4)^2+(|y|-3)^2=a \end{cases} \] имеет ровно два решения.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, для каждого из которых найдётся значение параметра $b$, при котором система уравнений \[ \begin{cases} ax+2y-3b=0,\\ \left(x^2+y^2-9\right)\left(x^2+y^2-12x+32\right)=0 \end{cases} \] имеет ровно 4 решения.
Ответ:
Решение:
Найдите минимальное значение параметра $a$, при котором множество решений уравнения $(2a-7)x-y-6a+21=0$ имеет ровно одну общую точку с множеством решений системы \[ \begin{cases} ax-y-3a+4\leqslant 0,\\ ax+2y-8\geqslant 0. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Найдите минимальное значение параметра $a$, при котором система \[ \begin{cases} ax-y+3-4a\geqslant 0,\\ x-2(a-1)y-4\leqslant 0,\\ ax-x-y+3\geqslant 0 \end{cases} \] имеет единственное решение.
Ответ:
Решение:
При каких $a$ система \[ \begin{cases} \left(x^2+(y-7)^2-9\right)\left((x-4)^2+(y-3)^2-1\right)=0,\\ ax-y-4a-2=0 \end{cases} \] имеет четыре решения?
Ответ:
Решение:
При каких $a$ множество решений неравенства $x^2+(|y|-a)^2\leqslant a^2$ содержит все пары чисел $(x;y)$, для которых $(x-4)^2+(y-2)^2\leqslant 1$?
Ответ:
Решение:
При каких $b$ система уравнений \[ \begin{cases} (x-a)^2+(y-a+b)^2=2,\\ (x-y+3)(x-y-1)=0, \end{cases} \] имеет решения при любых $a$?
Ответ:
Решение:
При каких $\alpha$ система уравнений \[ \begin{cases} (x-4\cos\alpha)^2+(y-4\sin\alpha)^2=1,\\ (x-5\cos2\alpha)^2+(y-5\sin2\alpha)^2=9 \end{cases} \] имеет единственное решение?
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a\gt 0$, при каждом из которых из неравенства $x^2+y^2\leqslant a$ следует неравенство $(|x|+3)(|y|+3)\leqslant25$.
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ площадь фигуры, заданной на плоскости $(x,y)$ системой \[\begin{cases}x^2+y^2-2ax-ay\leqslant1-\dfrac{5a^2}{4},\\ y^2+4xy+4x^2\leqslant25a^2,\end{cases}\] максимальна?
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a$, при каждом из которых для любого значения $b$ система \[\begin{cases}(x+1)^2+|y-1|=2,\\ y=b|2x+1|+a\end{cases}\] имеет решения.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $y$, при каждом из которых ни одно значение $x$, удовлетворяющее неравенству \[ \log_2(|x|+|y|)\leqslant 2, \] не удовлетворяет неравенству \[ \log_{\frac12}(|x|+|y+4|)\geqslant -2. \]
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ система \[ \begin{cases} |x|+|y|+\bigl||x|-|y|\bigr|=6,\\ |x|+|y|=a \end{cases} \] имеет наибольшее возможное число решений?
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $\bigl|\ln|x|\bigr|=ax$ имеет три решения.
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ система\[\begin{cases}3|x|+4|y|=12,\\x^2+(y-1)^2=a^2,\end{cases}\]имеет нечётное количество решений?
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ система уравнений \[ \begin{cases} (y-3)^2-(x-1)^2=0,\\ (x-4)^2+(y+1)^2=a \end{cases} \] имеет нечётное число различных решений?
Ответ:
Решение:
На плоскости $xOy$ укажите все точки, через которые не проходит ни одна из кривых, заданных уравнением \[ ax^2+(1-6a)x+2-a-2y+ay^2=0. \]
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений \[ \begin{cases} y=x^2+6x+7,\\ y=|x-a|-2 \end{cases} \] имеет четыре различных решения. Найдите эти решения при каждом значении $a$.
Ответ:
Решение: