Знакопеременная сумма цифр числа — это его сумма цифр, в которой у каждой следующей цифры стоит знак, противоположный знаку у предыдущей цифры. Например,
- у числа 123 знакопеременная сумма цифр равна $1-2+3=2$;
- у числа 12 знакопеременная сумма цифр равна $1-2=-1$;
- у числа 1 знакопеременная сумма цифр равна 1.
Ответ:
Решение:
Натуральное число назовём хорошим, если для него выполняются все следующие условия:
- в его десятичной записи все цифры ненулевые;
- сумма его цифр равна 32;
- любая его цифра, кроме последних двух, является делителем суммы следующих за ней двух цифр.
Ответ:
Решение:
Найдите сумму цифр числа \[3\cdot{\underbrace{33\ldots3}_{100}}^3+2\cdot{\underbrace{11\ldots1}_{100}}^2+{\underbrace{55\ldots5}_{100}}^2+\underbrace{33\ldots3}_{100}.\]
Ответ:
Решение:
Петя выписал на доску выражение $1+2+\ldots+1000$. Его младший брат Вася в каждом числе вставил между всеми соседними цифрами знак умножения. Например, число 547 превратилось в $5\cdot 4\cdot 7$. Чему равно значение полученного выражения?
Ответ:
Решение:
У Пети есть натуральное число $N$. Он рассматривает все пары цифр числа $N$, одна из которых чётная, а другая нечётная, и записывает на доску произведение цифр в каждой паре. Например, если бы у него было число 2338, то на доске были бы записаны числа 6, 6, 24 и 24. Оказалось, что сумма чисел на доске равна 26. Какое минимальное $N$ могло быть у Пети?
Ответ:
Решение:
Можно ли число 240 представить в виде суммы девяти двузначных чисел (среди которых могут быть и одинаковые), в десятичной записи каждого из которых есть девятка?
Ответ:
Решение:
Назовём натуральное число интересным, если сумма его цифр — простое число. Какое наибольшее количество интересных чисел может быть среди пяти подряд идущих натуральных чисел?
Ответ:
Решение:
На бесконечной ленте выписаны в порядке возрастания все натуральные числа с суммой цифр 2018. Какое число написано на 225-м месте?
Ответ:
Решение:
У натурального числа $N$ выписали все его делители, затем у каждого из этих делителей подсчитали сумму цифр. Оказалось, что среди этих сумм нашлись все числа от 1 до 9. Найдите наименьшее значение $N$.
Ответ:
Решение:
Произведение цифр натурального числа $n$ равно $x$, а произведение цифр числа $n+1$ равно $y$. Может ли так случиться, что произведение цифр некоторого натурального числа $m$ равно $y-1$, а произведение цифр числа $m+1$ равно $x-1$?
Ответ:
Решение:
Петя взял некоторые трехзначные натуральные числа $a_0$, $a_1$, …, $a_9$ и написал на доске уравнение \[ a_9x^9+a_8x^8+\ldots+a_2x^2+a_1x+a_0=*. \] Докажите, что Вася сможет вместо звездочки написать некоторое 30-значное натуральное число так, чтобы получившееся уравнение имело целый корень.
Ответ:
Решение:
Петя загадал натуральное число $N$, Вася хочет его отгадать. Петя сообщает Васе сумму цифр числа $N+1$, затем сумму цифр числа $N+2$ и т. д. Верно ли, что рано или поздно умный Вася сможет с гарантией установить Петино число?
Ответ:
Решение:
Будем называть натуральное число красивым, если в его десятичной записи поровну цифр 0, 1, 2, а других цифр нет. Может ли произведение двух красивых чисел быть красивым?
Ответ:
Решение:
Изначально на доске записано натуральное число. Затем каждую секунду к текущему числу прибавляют произведение всех его ненулевых цифр. Докажите, что найдётся натуральное $a$ такое, что прибавление числа $a$ случится бесконечное количество раз.
Ответ:
Решение:
Определим последовательность $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$ формулой $a_n=\left[n^{\frac{2018}{2017}}\right]$. Докажите, что существует такое натуральное число $N$, что среди любых $N$ подряд идущих членов последовательности есть такой, десятичная запись которого содержит цифру 5. (Как обычно, через $[x]$ обозначается наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)
Ответ:
Решение:
Докажите, что существует натуральное число $b$ такое, что при любом натуральном $n\gt b$ сумма цифр числа $n!$ не меньше $10^{100}$.
Ответ:
Решение:
Для натурального числа $N$ рассмотрим все различные точные квадраты, которые можно получить из $N$ вычёркиванием одной цифры в его десятичной записи. Докажите, что количество этих квадратов не превосходит некоторой величины, не зависящей от $N$.
Ответ:
Решение:
Даны $2n$-значное натуральное число $a$ и натуральное число $k$. Числа $a$ и $ka$ записали на ленте и каждую из двух записей разрезали на двузначные числа, начиная с последних цифр (при этом числа 00, 01, $\ldots$, 09 здесь тоже считаются двузначными; если в числе $ka$ оказалось нечётное количество цифр, к нему спереди приписали 0). Оказалось, что у числа $a$ полученные двузначные числа строго убывают справа налево (от младших разрядов числа $a$ к старшим), а у числа $ka$ — строго возрастают. Докажите, что $k\geqslant n$.
Ответ:
Решение:
Будем говорить, что мы укоротили число, если стерли его последнюю цифру. Натуральное число, большее миллиона, таково, что если укоротить его, получится квадрат натурального числа, если укоротить этот квадрат, получится куб натурального числа, укоротив этот куб, получим четвёртую степень натурального числа, а, укоротив эту четвёртую степень, получим пятую степень натурального числа. Докажите, что если укоротить эту пятую степень, то получится шестая степень натурального числа.
Ответ:
Решение: