Ответ:
Решение:
Какая наибольшая площадь может быть у треугольника, если длины двух его медиан равны $12$ и $17$, а угол между ними равен $150^\circ$?
Ответ:
Решение:
Расстояние между центрами двух квадратов со стороной 1 равно $0{,}8$, а одна из сторон первого квадрата параллельна одной из сторон второго. Какую наименьшую площадь может иметь их общая часть?
Ответ:
Решение:
Клиенты интернет магазина «Али-экспресс» проживают в семи домах, расположенных в вершинах выпуклого семиугольника. От жителей первого дома поступил один заказ, от второго дома — два заказа, и т. д. от жителей шестого — шесть заказов. А вот жители последнего седьмого дома сделали $21$ заказ. Менеджер магазина задумался о том в какое место следует доставить все заказы, чтобы суммарное расстояние, преодолеваемое всеми клиентами для получения товара, было минимально возможным. Помогите ему в решении этой задачи и обоснуйте результат.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ известны стороны $AB=5$ и $AC=6$. Какой должна быть сторона $BC$, чтобы угол $ACB$ был максимально возможным?
Ответ:
Решение:
На сторонах $AB$ и $AD$ квадрата $ABCD$ со стороной $12$ отмечены точки $E$ и $F$ соответственно. Угол $ECF$ равен $60^\circ$. Из вершин $B$ и $D$ проведены перпендикуляры к отрезкам $CE$ и $CF$. Какая наибольшая площадь может быть у четырёхугольника с вершинами в основаниях этих перпендикуляров?
Ответ:
Решение:
На сторонах $AB$ и $AD$ квадрата $ABCD$ со стороной $24$ отмечены точки $E$ и $F$ соответственно. Угол $ECF$ равен $30^\circ$. Из вершин $B$ и $D$ проведены перпендикуляры к отрезкам $CE$ и $CF$. Какая наибольшая площадь может быть у четырёхугольника с вершинами в основаниях этих перпендикуляров?
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ провели высоту $BH$. Пусть $M$ — середина отрезка $BH$. Точку $M$ отразили симметрично относительно сторон $AB$ и $CB$, получив точки $K$ и $L$ соответственно. Радиус окружности, описанной около треугольника $KLM$, равен $13\sqrt3$. Какое наибольшее значение может принимать длина отрезка $KH$, если угол $BAC$ равен $60^\circ$?
Ответ:
Решение:
На трёх параллельных прямых $\ell_1$, $\ell_2$, $\ell_3$ взяты точки $A_1$, $A_2$, $A_3$ соответственно, и при этом $A_1A_2=A_1A_3$. Известно, что расстояние между прямыми $\ell_1$ и $\ell_2$ равно $5$, расстояние между $\ell_1$ и $\ell_3$ равно $8$, а расстояние между $\ell_2$ и $\ell_3$ равно $13$. Найдите минимально возможную площадь треугольника $A_1A_2A_3$.
Ответ:
Решение:
На трёх параллельных прямых $\ell_1$, $\ell_2$, $\ell_3$ взяты точки $A_1$, $A_2$, $A_3$ соответственно, и при этом треугольник $A_1A_2A_3$ равнобедренный. Известно, что расстояние между прямыми $\ell_1$ и $\ell_2$ равно 3, расстояние между $\ell_1$ и $\ell_3$ равно 13, а расстояние между $\ell_2$ и $\ell_3$ равно 16. Найдите минимально возможную площадь треугольника $A_1A_2A_3$.
Ответ:
Решение:
Цветочный луг, гречишное поле и липовая роща расположены в трёх точках, не лежащих на одной прямой. Пасечник поставил улей на прямолинейной тропинке между лугом и полем так, чтобы сумма расстояний от улья до луга, поля и рощи была наименьшей. На каком расстоянии от луга установлен улей, если известно, что длина тропинки равна $1000$ м, расстояния от улья до луга, рощи и поля (в указанном порядке) являются тремя последовательными членами некоторой геометрической прогрессии, а длина тропинки, расстояние от рощи до луга и расстояние от рощи до поля — соответственно вторым, четвёртым и шестым членами некоторой арифметической прогрессии?
Ответ:
Решение:
Острый угол треугольника $ABC$ равен $30^\circ$. Найти максимальное возможное значение отношения $r:R$, где $r$ и $R$ — радиусы вписанной и описанной окружностей.
Ответ:
Решение:
Правильный треугольник площади $\sqrt3$ разбит произвольным образом на правильные треугольники. Найти наименьшее возможное значение суммы площадей кругов, описанных около этих треугольников.
Ответ:
Решение:
Прямоугольник, отношение сторон которого равно 5, имеет наибольшую площадь среди всех прямоугольников, вершины которых лежат на сторонах данного ромба, а стороны параллельны диагоналям ромба. Найдите острый угол ромба.
Ответ:
Решение:
Две стороны выпуклого четырехугольника имеют длину 6, ещё одна — длину 1, а его площадь — наибольшая возможная при таких условиях. Какова длина четвертой стороны четырехугольника?
Ответ:
Решение:
Вершины $K$, $L$, $M$, $N$ четырёхугольника $KLMN$ лежат соответственно на сторонах $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ квадрата $ABCD$. Найти наименьший возможный периметр четырёхугольника $KLMN$, если известно, что $AK=2$ см, $BK=4$ см и $AN=ND$.
Ответ:
Решение:
На одной из сторон острого угла с вершиной $O$ взяты точки $A$ и $B$, а на другой — точка $C$. При какой длине отрезка $OC$ величина угла $ACB$ максимальна, если $OA=1$, $OB=5$?
Ответ:
Решение:
На плоскости задана точка $P$. Рассматриваются различные равносторонние треугольники $ABC$, такие что $PA=2$, $PB=3$. Какое максимальное значение может принимать длина отрезка $PC$?
Ответ:
Решение:
Прямая $c$ задаётся уравнением $y=2x$. Точки $A$ и $B$ имеют координаты $A(2,2)$ и $B(6,2)$. На прямой $c$ найдите точку $C$, из которой отрезок $AB$ виден под наибольшим углом.
Ответ:
Решение:
Прямая $c$ задаётся уравнением $y=x+1$. Точки $A$ и $B$ имеют координаты $A(1,0)$ и $B(3,0)$. На прямой $c$ найдите точку $C$, из которой отрезок $AB$ виден под наибольшим углом.
Ответ:
Решение: