Назовем расстановку $n$ единиц и $m$ нулей по кругу хорошей, если в ней можно поменять местами соседние нуль и единицу так, что получится расстановка, отличающаяся от исходной поворотом. При каких натуральных $n$, $m$ существует хорошая расстановка?
Ответ:
Решение:
На окружности отмечены 10 точек, занумерованные по часовой стрелке: $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_{10}$, причём известно, что их можно разбить на пары симметричных относительно центра окружности. Изначально в каждой отмеченной точке сидит по кузнечику. Каждую минуту один из кузнечиков прыгает вдоль окружности через своего соседа так, чтобы расстояние между ними не изменилось. При этом нельзя пролетать над другими кузнечиками и попадать в точку, где уже сидит кузнечик. Через некоторое время оказалось, что какие-то 9 кузнечиков сидят в точках $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_9$, а десятый кузнечик сидит на дуге $A_9A_{10}A_1$. Можно ли утверждать, что он сидит именно в точке $A_{10}$?
Ответ:
Решение:
По рёбрам треугольной пирамиды ползают четыре жука, при этом каждый жук всё время остаётся только в одной грани (в каждой грани — свой жук). Каждый жук обходит границу своей грани в определённом направлении, причём так, что любые два жука по общему для них ребру ползут в противоположных направлениях. Докажите, что если скорости (возможно, непостоянные) каждого из жуков всегда больше $1$ см/с, то когда-нибудь какие-то два жука обязательно встретятся независимо от пирамиды, начального положения и скорости жуков.
Ответ:
Решение:
На кольцо свободно нанизано $2009$ бусинок. За один ход любую бусинку можно передвинуть так, чтобы она оказалась ровно посередине между двумя соседними. Существуют ли такие изначальная расстановка бусинок и последовательность ходов, при которых какая-то бусинка пройдёт хотя бы один полный круг?
Ответ:
Решение:
Шестьдесят четыре одинаковых кубических контейнера с жидким азотом, $n$ из которых оказались изначально замороженными (азот в них перешёл в твёрдое состояние), плотно сомкнуты и сложены в большой куб размера $4\times4\times4$. В силу контакта по общим граням с замороженными контейнерами процесс замерзания поэтапно распространяется на соседние емкости. На каждом этапе заморозка охватывает только те контейнеры, которые в данный момент имеют общие грани не менее чем с $m$ уже полностью замёрзшими соседями.
- Докажите, что при $n=8$ и $m=3$ при любом начальном расположении замороженных контейнеров полное замерзание всех контейнеров никогда не произойдет.
- При $n=6$ и $m=2$ укажите какое-либо расположение изначально замороженных контейнеров в большом кубе, при котором все контейнеры замёрзнут не более чем через 8 этапов распространения процесса заморозки. Ответ обоснуйте.
Ответ:
Решение:
На экране суперкомпьютера напечатано число $11\ldots1$ ($900$ единиц). Каждую секунду суперкомпьютер заменяет его по следующему правилу. Число записывается в виде $\overline{AB}$, где $B$ состоит из двух его последних цифр, и заменяется на $2\cdot A+8\cdot B$ (если $B$ начинается на нуль, то он при вычислении опускается). Например, $305$ заменяется на $2\cdot 3+8\cdot 5=46$. Если на экране остаётся число, меньшее $100$, то процесс останавливается. Правда ли, что он остановится?
Ответ:
Решение:
На доске написаны $1000$ последовательных целых чисел. За ход можно разбить написанные числа на пары произвольным образом и каждую пару чисел заменить на их сумму и разность (не обязательно вычитать из большего меньшее, все замены происходят одновременно). Докажите, что на доске больше никогда не появятся $1000$ последовательных целых чисел.
Ответ:
Решение:
Назовём расстановку $n$ единиц и $m$ нулей по кругу хорошей, если в ней можно поменять местами соседние нуль и единицу так, что получится расстановка, отличающаяся от исходной поворотом. При каких натуральных $n$, $m$ существует хорошая расстановка?
Ответ:
Решение:
Пусть $B$ — множество действительных чисел, не содержащее $0$ и $1$. Известно, что если $b\in B$, то $\dfrac{1}{b}\in B$ и $1-\dfrac{1}{b}\in B$. Может ли в $B$ быть ровно $1000$ элементов?
Ответ:
Решение:
В строку выписано 81 ненулевое число. Сумма любых двух соседних чисел положительна, а сумма всех чисел отрицательна. Каким может быть знак произведения всех чисел?
Ответ:
Решение:
На длинной скамейке сидели мальчик и девочка. К ним по одному подошли ещё $20$ детей, и каждый из них садился между какими-то двумя уже сидящими. Назовём девочку отважной, если она садилась между двумя соседними мальчиками, а мальчика — отважным, если он садился между двумя соседними девочками. Когда все сели, оказалось, что мальчики и девочки сидят на скамейке, чередуясь. Сколько из них были отважными?
Ответ:
Решение:
В клетках таблицы $n\times n$ стоят плюсы и минусы. За один ход разрешается в произвольной строке или в произвольном столбце поменять все знаки на противоположные. Известно, что из начальной расстановки можно получить такую, при которой во всех ячейках стоят плюсы. Докажите, что этого можно добиться не более чем за $n$ ходов.
Ответ:
Решение:
Карлсон написал дробь $5/8$. Малыш может:
- прибавлять любое натуральное число к числителю и знаменателю одновременно;
- умножать числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число.
Ответ:
Решение:
На доске были написаны некоторые целые числа. На каждом шаге мы выбираем числа $a$ и $b$ и заменяем их на числа \[ 5a-3b\quad\text{и}\quad 7a-5b. \] Вначале на доске были записаны числа \[ 15, 16, 17, \ldots, 40. \] Можно ли через конечное число шагов получить на доске числа $2001, 2002, 2003, \ldots, 2026$?
Ответ:
Решение:
На доске написаны некоторые целые числа. На каждом шаге мы выбираем числа $a$ и $b$ и заменяем их на числа \[ 5a-3b\quad\text{и}\quad 7a-5b. \] Вначале были записаны числа \[ 15, 16, 17, \ldots, 40. \] Можно ли через конечное число шагов получить на доске числа $2001, 2002, 2003, \ldots, 2026$?
Ответ:
Решение:
Квадратное табло состоит из $2012\times2012$ ячеек, каждая из которых может светиться или быть погашена. Известно, что можно переключать состояние на противоположное одновременно для всех ячеек на любой горизонтали, на любой вертикали и на любой (не обязательно большой) диагонали. Гарантированно ли (независимо от того, какие ячейки в начальный момент светились, а какие были погашены) такими переключениями можно перевести табло в состояние, когда все ячейки погашены?
Ответ:
Решение:
Два преподавателя получили два одинаковых набора экзаменационных билетов, написанных на карточках: по $30$ карточек с билетами каждый. Первый перемешал свои карточки и положил их стопкой на стол, потом второй перемешал свои карточки и положил их стопкой сверху на первую стопку. Они подсчитали количество карточек, расположенных между парами карточек с одинаковыми билетами, и сложили полученные результаты ($30$ чисел). Какую наибольшую сумму они могли получить?
Ответ:
Решение:
Ваня сдал три ЕГЭ. По русскому языку он набрал на $5$ баллов меньше, чем по физике, а по физике — на $9$ баллов меньше, чем по математике. Золотая рыбка, приснившаяся Ване, обещала выполнить любое количество желаний следующих видов:
1) прибавить по баллу за каждый экзамен;
2) за один экзамен (по выбору Вани) уменьшить баллы на $3$, а за каждый из двух остальных — увеличить на $1$.
Рыбка выполняет желание, если при этом ни один результат не превысит $100$ баллов. Мог ли Ваня во сне набрать $100$ баллов более чем по одному экзамену?
1) прибавить по баллу за каждый экзамен;
2) за один экзамен (по выбору Вани) уменьшить баллы на $3$, а за каждый из двух остальных — увеличить на $1$.
Рыбка выполняет желание, если при этом ни один результат не превысит $100$ баллов. Мог ли Ваня во сне набрать $100$ баллов более чем по одному экзамену?
Ответ:
Решение:
На доске написаны числа $1, 2, \ldots, 2015$. Над ними последовательно проделывают 2014 операций, причём $n$-я по счёту операция состоит в следующем: произвольные числа $a$ и $b$ (из написанных на доске) стираются и дописывается одно число, равное $ab/n$. Что останется на доске в конце?
Ответ:
Решение:
Фишка покрашена в два цвета. Одна сторона — в красный, другая — в синий. На стол положили красной стороной вверх $100$ фишек. Вася перевернул $55$ фишек, затем Коля перевернул $68$ фишек, наконец, Петя перевернул $77$ фишек. Оказалось, что теперь все фишки лежат синей стороной вверх. Сколько фишек переворачивали все трое ребят?
Ответ:
Решение: