Клетчатый прямоугольник $100\times101$ (100 строк, 101 столбец) разбит на полоски $1\times5$ так, что в каждом столбце содержится ровно $k$ вертикальных полосок. Чему может быть равно $k$?
Ответ:
Решение:
Назовем сапогом клетчатую фигуру, составленную из прямоугольника шириной одну и длиной не менее двух клеток и клетки, примыкающей сбоку к одной из крайних клеток этого прямоугольника (на рисунке изображен пример сапога, составленного из 5 клеток; фигуры, которые получаются из изображенного сапога поворотами и переворотами — тоже сапоги). Можно ли какой-нибудь клетчатый квадрат разрезать по границам клеточек на сапоги, среди которых нет равных? Напомним, что фигуры называются равными, если их можно наложить друг на друга так, что они совместятся.
Ответ:
Решение:
Кузнечик начинает движение в левой верхней клетке квадрата $10\times10$. Он может прыгать на одну клетку вниз или вправо. Кроме того, кузнечик может из самой нижней клетки любого столбца перелететь в самую верхнюю клетку того же столбца, а из самой правой клетки любой строки перелететь в самую левую клетку той же строки. Докажите, что кузнечику понадобится хотя бы 9 перелетов, чтобы побывать на каждой клетке квадрата хотя бы по одному разу.
Ответ:
Решение:
Игорь хочет вырезать из клетчатого квадрата размером $11\times11$ 17 клетчатых прямоугольников размером $1\times6$. Можно ли отметить в квадрате одну клеточку так, чтобы она наверняка осталась не вырезанной, как бы Игорь ни старался?
Ответ:
Решение:
Из клетчатого квадрата со стороной 2015 вырезали по клеточкам несколько квадратов со стороной 10. Докажите, что из оставшейся части большого квадрата можно вырезать:
а) один прямоугольник со сторонами 1 и 10;
б) пять прямоугольников со сторонами 1 и 10.
а) один прямоугольник со сторонами 1 и 10;
б) пять прямоугольников со сторонами 1 и 10.
Ответ:
Решение:
Назовём хорошими прямоугольниками квадрат со стороной 2 и прямоугольник со сторонами 1 и 11. Докажите, что любой прямоугольник с целочисленными сторонами, большими 100, можно разрезать на хорошие прямоугольники.
Ответ:
Решение:
При каком наименьшем $n$ во все клетки таблицы $4\times 10$ можно расставить некоторые из чисел от 1 до $n$, каждое не более одного раза, так, чтобы любые два соседние по горизонтали или вертикали числа отличались хотя бы в 2 раза?
Ответ:
Решение:
Новая шахматная фигура гусь может ходить либо на одну клетку влево, либо на две клетки вправо и одну вверх, либо на две клетки вверх и одну вправо. Возможные ходы гуся, стоящего в клетке Г, отмечены на рисунке крестиками. Гусь бьёт так же, как и ходит.
Несколько гусей стоят в клетках доски $8\times8$ так, что никакой гусь не бьёт другого гуся, при этом любая незанятая клетка бьётся хотя бы одним гусём. Сколько гусей может стоять на доске? Укажите все возможные варианты в любом порядке.
Несколько гусей стоят в клетках доски $8\times8$ так, что никакой гусь не бьёт другого гуся, при этом любая незанятая клетка бьётся хотя бы одним гусём. Сколько гусей может стоять на доске? Укажите все возможные варианты в любом порядке.
Ответ:
Решение:
У Егора есть доска $5\times5$, в каждой клетке которой изначально было написано число 0. Он поставил фишку в левую нижнюю клетку и увеличил число в ней на 1. Далее Егор перемещал фишку по доске, каждый раз переставляя в соседнюю по стороне клетку. После каждого перемещения Егор увеличивал число в клетке, в которой оказалась фишка, на 1.
После последнего перемещения фишка оказалась в правой верхней клетке доски. Числа, получившиеся в остальных клетках доски, указаны на рисунке. Чему равно число в правой верхней клетке доски?
После последнего перемещения фишка оказалась в правой верхней клетке доски. Числа, получившиеся в остальных клетках доски, указаны на рисунке. Чему равно число в правой верхней клетке доски?
| 5 | 6 | 7 | 8 | |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Ответ:
Решение:
На доске нарисована пустая таблица $3\times51$. Маша хочет заполнить её клетки числами, руководствуясь следующими правилами:
2. Назовём клетку таблицы хорошей, если в ней может оказаться число 153. Сколько всего хороших клеток?
- каждое из чисел 1, 2, 3, $\ldots$, 153 должно присутствовать в таблице;
- в левой нижней клетке таблицы должно стоять число 1;
- для любого натурального $a\leqslant152$ числа $a$ и $a+1$ должны стоять в соседних по стороне клетках.
2. Назовём клетку таблицы хорошей, если в ней может оказаться число 153. Сколько всего хороших клеток?
Ответ:
Решение:
Клетчатый прямоугольник площади $S$ таков, что:
2. Чему может быть равен периметр этого прямоугольника? Укажите все возможные варианты.
- его целиком можно разрезать по линиям сетки на прямоугольники $1\times13$;
- его целиком можно разрезать по линиям сетки на трёхклеточные уголки (примеры уголков изображены на рисунке ниже);
- не существует клетчатого прямоугольника меньшей площади, удовлетворяющего двум предыдущим условиям.
2. Чему может быть равен периметр этого прямоугольника? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:
Клетчатую доску размером $7\times7$ склеили, используя фигурки трех видов (см. рисунок), не обязательно все. Сколько могло быть использовано фигурок, составленных из четырех клеток?
Ответ:
Решение:
Из шахматной доски размером $8\times8$ вырезали квадрат размером $2\times2$ так, что оставшуюся доску удалось разрезать на прямоугольники размером $1\times3$. Определите, какой квадрат могли вырезать. (Укажите все возможные варианты и докажите, что других нет.)
Ответ:
Решение:
У Коли есть 100 монет и доска $m\times n$, где $m\geqslant n$ и $m\gt 1$. Он разложил все монеты в клетки доски так, что в любых двух соседних по стороне клетках суммарно оказалось ровно 10 монет (в каких-то клетках могло оказаться несколько монет, а какие-то клетки могли оказаться пустыми). Какие значения может принимать $m$? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:
У Олега есть набор из 2024 различных клетчатых прямоугольников размеров $1\times1$, $1\times2$, $1\times3$, …, $1\times2024$ (по одному прямоугольнику каждого размера). Может ли он, выбрав некоторые из них, составить какой-нибудь клетчатый квадрат площади больше 1?
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее количество белых доминошек, которое можно вырезать из доски, изображённой на рисунке. Доминошка — это прямоугольник $1\times2$.
Ответ:
Решение:
Придумайте, как разрезать контур квадрата со стороной 1 на четыре части и сложить из этих частей контур треугольника. Найдите площадь получившегося у вас треугольника. (Толщины контур не имеет. Сгибать и разгибать части нельзя.)
Ответ:
Решение:
Каждую клетку доски $7\times7$ закрасили в один из девяти цветов. Известно, что у каждой клетки, не примыкающей к краю доски, есть соседи (по горизонтали, вертикали или диагонали) всех восьми цветов, не совпадающих с цветом этой клетки. Докажите, что клеток каждого из девяти цветов не меньше четырех.
Ответ:
Решение:
Таблицу $5\times5$ разбили на 7 связных частей по линиям сетки. В каждой части в одной из клеток написали количество клеток в этой части. Отметьте клетки части, которая содержит центральную клетку.
| 2 | 5 | |||
| 6 | 3 | |||
| 5 | 2 | 2 |
Ответ:
Решение:
Из клетчатого квадрата $8\times8$ вырезали часть угловых клеток, а оставшуюся фигуру разбили на квадраты со сторонами 1 и 2 так, чтобы квадратов каждого типа получилось поровну. Сколько клеток могло быть вырезано?
Ответ:
Решение: