На оси $Ox$ отметили точки $0, 1, 2, \ldots, 100$ и нарисовали графики 200 различных квадратичных функций, каждый из которых проходит через две из отмеченных точек и касается прямой $y=-1$. Для каждой пары графиков Олег написал на доске число, равное количеству общих точек этих графиков. После чего он сложил все 19900 чисел, написанных на доске. Мог ли он получить число 39699?
Ответ:
Решение:
Пусть $P_1(x)$ и $P_2(x)$ — приведённые квадратные трёхчлены, а точки $A_1$ и $A_2$ — соответственно вершины парабол $y=P_1(x)$ и $y=P_2(x)$. Через $m(g(x))$ будем обозначать наименьшее значение функции $g(x)$. Известно, что разности $m(P_1(P_2(x)))-m(P_1(x))$ и $m(P_2(P_1(x)))-m(P_2(x))$ оказались равными положительными числами. Найдите угол между прямой $A_1A_2$ и прямой, содержащей ось $Ox$.
Ответ:
Решение:
График $G_1$ квадратного трехчлена \[ y=px^2+qx+r \] с вещественными коэффициентами пересекает график $G_2$ квадратного трехчлена $y=x^2$ в точках $A$ и $B$. Касательные в точках $A$ и $B$ к графику $G_2$ пересекаются в точке $C$. Оказалось, что точка $C$ лежит на графике $G_1$. Найдите все возможные значения $p$.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости нарисованы графики двух приведённых квадратных трёхчленов и две непараллельные прямые $\ell_1$ и $\ell_2$. Известно, что отрезки, высекаемые графиками на $\ell_1$, равны, и отрезки, высекаемые графиками на $\ell_2$, также равны. Докажите, что графики трёхчленов совпадают.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости нарисована парабола $y=x^2$. Для данного числа $k\gt 0$ рассматриваются трапеции, вписанные в эту параболу (то есть все вершины трапеции лежат на параболе), у которых основания параллельны оси абсцисс, а произведение длин оснований равно $k$. Докажите, что продолжения боковых сторон всех таких трапеций проходят через одну точку.
Ответ:
Решение:
Стороны квадрата $ABCD$ параллельны осям координат, причём $AB$ лежит на оси ординат, а сам квадрат расположен так, как показано на рисунке. Парабола, задаваемая уравнением \[y=\frac{1}{5}x^2+ax+b,\] проходит через точки $B$ и $C$. Кроме этого, вершина этой параболы (точка $E$) лежит на отрезке $AD$. Найдите сумму корней квадратного трёхчлена, графиком которого является парабола.
Ответ:
Решение:
Толя задумал два квадратных трёхчлена. Оказалось, что первый трёхчлен имеет корни 1 и 2, а один из двух корней второго трёхчлена равен $-5$. Также известно, что графики трёхчленов пересекаются в двух точках: одна из них имеет координаты $(3,4)$, а вторая — лежит на оси ординат.
1. Найдите ординату второй точки пересечения графиков.
2. Найдите произведение корней второго трёхчлена.
1. Найдите ординату второй точки пересечения графиков.
2. Найдите произведение корней второго трёхчлена.
Ответ:
Решение:
График функции $y=ax^2+bx+c$ пересекает график функции $y=|x-3|$ в трёх точках, как изображено на рисунке.
Оказалось, что абсцисса самой правой точки пересечения равна 14. Найдите $a$.
Оказалось, что абсцисса самой правой точки пересечения равна 14. Найдите $a$.
Ответ:
Решение:
Дан квадратный трёхчлен $P(x)$, старший коэффициент которого равен 1. На графике $y=P(x)$ отметили две точки с абсциссами 10 и 30. Оказалось, что биссектриса первой четверти координатной плоскости пересекает отрезок между ними в его середине. Найдите $P(20)$.
Ответ:
Решение:
График квадратичной функции $y=ax^2+c$ пересекает оси координат в вершинах правильного треугольника. Чему равно $ac$?
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости построены графики линейной и квадратичной функций (см. рисунок). Уравнение линейной функции имеет вид $y=cx+2c$ для некоторого числа $c$. Используя тот же параметр $c$, запишите уравнение квадратичной функции и объясните свое решение.
Ответ:
Решение:
На листе бумаги построили параболу — график функции $y=ax^2+bx+c$ при $a\gt 0$, $b\gt 0$ и $c\lt 0$, — а оси координат стёрли. Как они могли располагаться? (Изобразите любой пример, соответствующий указанным знакам коэффициентов, не изменяя положения самой параболы.)
Ответ:
Решение:
Во всем мире популярна игра в хоккей. Многое в игре зависит от вратаря. Для отработки навыков вратарей и обеспечения тренировочного процесса, который бы не зависел от других игроков, создали шайбомет. Автомат можно настроить так, чтобы он выбрасывал шайбы с заданной временной частотой, скоростью и под определенным углом.
Пусть автомат установлен на льду на расстоянии $l=12$ м от ворот. Броски производятся в плоскости, перпендикулярной поверхности льда и линии ворот, с некоторой фиксированной начальной скоростью выброса шайбы $V_0$ и под различными углами $\alpha$ к поверхности льда. Примем точку выброса за начало отсчета системы координат. Ось абсцисс направим перпендикулярно центральной линии хоккейной площадки в сторону ворот. Ось ординат — вверх, перпендикулярно поверхности льда. В распоряжении вратаря имеется ловушка для шайб, изображенная на рисунке точкой $M$. Траектория движения шайбы, находящейся в воздухе и рассматриваемой как материальная точка, в зависимости от времени $t$ в указанной системе координат описывается уравнениями: \[ \begin{cases} x=V_0t\cos\alpha,\\ y=V_0t\sin\alpha-\dfrac{gt^2}{2}. \end{cases} \] Определите диапазон возможных значений квадрата начальной скорости выброса шайбы, при каждом из которых шайба попадает в ловушку и максимально возможная высота ловушки в моменты захвата шайбы не превосходит 1 м. Для упрощения вычислений считать, что ускорение свободного падения $g=10$ м/с$^2$.
Пусть автомат установлен на льду на расстоянии $l=12$ м от ворот. Броски производятся в плоскости, перпендикулярной поверхности льда и линии ворот, с некоторой фиксированной начальной скоростью выброса шайбы $V_0$ и под различными углами $\alpha$ к поверхности льда. Примем точку выброса за начало отсчета системы координат. Ось абсцисс направим перпендикулярно центральной линии хоккейной площадки в сторону ворот. Ось ординат — вверх, перпендикулярно поверхности льда. В распоряжении вратаря имеется ловушка для шайб, изображенная на рисунке точкой $M$. Траектория движения шайбы, находящейся в воздухе и рассматриваемой как материальная точка, в зависимости от времени $t$ в указанной системе координат описывается уравнениями: \[ \begin{cases} x=V_0t\cos\alpha,\\ y=V_0t\sin\alpha-\dfrac{gt^2}{2}. \end{cases} \] Определите диапазон возможных значений квадрата начальной скорости выброса шайбы, при каждом из которых шайба попадает в ловушку и максимально возможная высота ловушки в моменты захвата шайбы не превосходит 1 м. Для упрощения вычислений считать, что ускорение свободного падения $g=10$ м/с$^2$.
Ответ:
Решение:
Во всем мире популярна игра в хоккей. Многое в игре зависит от вратаря. Для отработки навыков вратарей и обеспечения тренировочного процесса, который бы не зависел от других игроков, создали шайбомет. Автомат можно настроить так, чтобы он выбрасывал шайбы с заданной временной частотой, скоростью и под определенным углом.
Пусть линия ворот находится на расстоянии 25 м от центральной точки $O$ хоккейной площадки. Автомат установлен на расстоянии $d=16$ м от точки $O$ по направлению к воротам, скорость выброса шайбы равна $V_0=20$ м/с. Броски производятся в плоскости, перпендикулярной поверхности льда и линии ворот. При этом для обеспечения безопасности траектория вылетающих шайб должна, с одной стороны, находиться не выше прямой линии, соединяющей центр ледовой площадки $O$ с точкой, находящейся в плоскости полета шайб, в плоскости ворот, и на расстоянии одного метра от поверхности льда, а с другой стороны — должна пересекать плоскость ворот по нисходящей ветви траектории.
Определите максимально возможное значение тангенса угла, под которым могут вылетать шайбы из шайбомета, если траектория движения шайбы, рассматриваемой как материальная точка, в плоскости ее полета в системе координат с центром в $O$ и осью абсцисс, направленной вдоль поверхности льда, описывается уравнениями: \[ \begin{cases} x=d+V_0t\cos\alpha,\\ y=V_0t\sin\alpha-\dfrac{gt^2}{2}. \end{cases} \] Для упрощения вычислений считать, что ускорение свободного падения $g=10$ м/с$^2$.
Пусть линия ворот находится на расстоянии 25 м от центральной точки $O$ хоккейной площадки. Автомат установлен на расстоянии $d=16$ м от точки $O$ по направлению к воротам, скорость выброса шайбы равна $V_0=20$ м/с. Броски производятся в плоскости, перпендикулярной поверхности льда и линии ворот. При этом для обеспечения безопасности траектория вылетающих шайб должна, с одной стороны, находиться не выше прямой линии, соединяющей центр ледовой площадки $O$ с точкой, находящейся в плоскости полета шайб, в плоскости ворот, и на расстоянии одного метра от поверхности льда, а с другой стороны — должна пересекать плоскость ворот по нисходящей ветви траектории.
Определите максимально возможное значение тангенса угла, под которым могут вылетать шайбы из шайбомета, если траектория движения шайбы, рассматриваемой как материальная точка, в плоскости ее полета в системе координат с центром в $O$ и осью абсцисс, направленной вдоль поверхности льда, описывается уравнениями: \[ \begin{cases} x=d+V_0t\cos\alpha,\\ y=V_0t\sin\alpha-\dfrac{gt^2}{2}. \end{cases} \] Для упрощения вычислений считать, что ускорение свободного падения $g=10$ м/с$^2$.
Ответ:
Решение:
Графики квадратного трёхчлена и его производной разбивают координатную плоскость на четыре части. Сколько корней имеет этот квадратный трёхчлен?
Ответ:
Решение:
Космический зонд, двигаясь прямолинейно с постоянной скоростью, пролетает мимо Марса и каждый день ровно в 12:00 замеряет расстояние до этой планеты. Известно, что 1-го февраля расстояние было $5$ млн. км, 10-го февраля — $2$ млн. км и 13-го февраля — $3$ млн. км. Определите, когда зонд пройдет на минимальном расстоянии от Марса. В этой задаче Марс можно считать точкой.
Ответ:
Решение:
Пусть $F(x)=x^2+ax+b$, где $a$, $b$ — некоторые коэффициенты. На какую наименьшую величину может отличаться наибольшее значение функции $G(x)=|F(x)|$ от наименьшего значения этой функции на отрезке $[-1;5]$?
Ответ:
Решение:
Пусть $f(x)=x^2+px+q$, где $p$, $q$ — некоторые коэффициенты. На какую наименьшую величину может отличаться наибольшее значение функции $g(x)=|f(x)|$ от наименьшего значения этой функции на отрезке $[2;6]$?
Ответ:
Решение:
График квадратичной функции $f(x)=x^2+2px-p^2+7p-2015$ пересекает координатные оси в трёх точках $A$, $B$ и $C$. Найдите значение $p$, при котором произведение длин отрезков $OA\cdot OB\cdot OC$ будет наименьшим.
Ответ:
Решение:
Две параболы $y=5x^2+ax+b$ и $y=-4x^2+cx+d$ касаются в точке, лежащей на оси $Ox$. Через точку $D$ — вторую точку пересечения первой параболы с осью $Ox$ — проведена вертикальная прямая, пересекающая вторую параболу в точке $A$, а общую касательную к параболам — в точке $B$. Найдите отношение $BD:AB$.
Ответ:
Решение: