Найти наибольшее значение выражения $|x|+|y|+|z|$ для троек $(x;y;z)$, удовлетворяющих системе \[ \begin{cases} \sin x\cdot\sin(x+y)\cdot\sin(x+y+z)=0,\\ x^2+y^2+z^2=\dfrac{\pi^2}{3}. \end{cases} \] Найти тройки $(x;y;z)$, для которых наибольшее значение достигается.
Ответ:
Решение:
Найти наибольшее значение выражения $\sin x+\sin y+\sin z$, если $x$, $y$ и $z$ — неотрицательные числа, для которых $x+y+z=\dfrac{3\pi}{4}$.
Ответ:
Решение:
При каком натуральном $n$ дробь \[ a_n=\dfrac{1}{n+\dfrac{2019}{n+\frac1n}} \] принимает наибольшее возможное значение?
Ответ:
Решение:
Найти все числа $C$, для которых неравенство \[ |\alpha\sin x+\beta\cos2x|\leqslant C \] выполняется при всех $x$ и любых $(\alpha;\beta)$ таких, что $\alpha^2+\beta^2\leqslant4$.
Ответ:
Решение:
Четыре числа $(x,\ y,\ z,\ t)$ удовлетворяют трем условиям: \[ x^2+y^2=1,\quad z^2+t^2=4,\quad xz+yt=-2. \] Найти $t$, если известно, что $y+z$ принимает наибольшее возможное значение.
Ответ:
Решение:
Имеется $153$ положительных числа, сумма которых $918$. Из них отобрали $127$ самых больших и нашли число $s$ — их сумму. Найти наименьшее возможное значение числа $s$.
Ответ:
Решение:
Числа $x$ и $y$ удовлетворяют неравенствам \[ x\leqslant 1,\quad y\leqslant 1,\quad x+y\geqslant 0{,}5. \] Найти наибольшее значение выражения $xy-x-y$. При каких $x$ и $y$ оно достигается?
Ответ:
Решение:
Найдите область значений функции \[ f(x)=\log_2 x\cdot\log_2\frac{64}{x}\cdot\sqrt{\log_3(27-3x)\cdot\log_3\frac{9}{27-3x}}. \]
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее значение $x+y$, если числа $x$ и $y$ удовлетворяют неравенству \[ \log_{\frac{x^2+y^2}{2}} y\geqslant1. \]
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее значение выражения\[\frac{1}{1-x^2}+\frac{4}{4-y^2}\]при условиях $|x|\lt 1$, $|y|\lt 2$ и $xy=1$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найдите минимальное значение выражения\[\frac{2bc-2a^2+2a}{2a}+\frac{2ca-2b^2+2b}{2b}+\frac{2ab-2c^2+2c}{2c},\qquad a,b,c\gt 0.\]
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее значение произведения \[ \operatorname{tg}x\operatorname{tg}y\operatorname{tg}z, \] где \[ 0\lt x,y,z\lt \frac{\pi}{2},\quad x+y+z=\frac{\pi}{2}. \]
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее значение выражения \[ \left(\frac1x+\frac1y\right)^2-3\cdot\left(\frac xy+\frac yx\right)+(x+y)^2 \] при условии, что \[ \frac1x+\frac1y=3. \]
Ответ:
Решение:
Будем обозначать $\max(A,B,C)$ наибольшее из чисел $A$, $B$, $C$. Найдите наименьшее значение величины \[ \max\left(x^2+|y|,\ (x+2)^2+|y|,\ x^2+|y-1|\right). \]
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее значение функции \[ f(x,y)=\frac{2015(x+y)}{\sqrt{2015x^2+2015y^2}} \] и укажите все пары $(x,y)$, при которых оно достигается.
Ответ:
Решение:
Найдите минимальное значение выражения \[ \sqrt{(x+6)^2+y^2}+\sqrt{x^2+(y-4)^2} \] при условии $2|x|+3|y|=6$.
Ответ:
Решение:
Найдите количество натуральных делителей наибольшего целого значения выражения \[ xyz+xy+yz+zx+2023, \] если сумма неотрицательных чисел $x$, $y$ и $z$ равна 2022.
Ответ:
Решение:
При каких положительных значениях $a$, $b$ и $c$ достигается наибольшее значение выражения \[ \frac{abc}{(1+a)(a+b)(b+c)(c+16)}? \]
Ответ:
Решение: