Даны положительные числа $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$, где $n\geqslant 2$. Докажите, что \[ \frac{1+x_1^2}{1+x_1x_2}+\frac{1+x_2^2}{1+x_2x_3}+\ldots+\frac{1+x_{n-1}^2}{1+x_{n-1}x_n}+\frac{1+x_n^2}{1+x_nx_1}\geqslant n. \]
Ответ:
Решение:
Пусть $a_1$, $\ldots$, $a_{25}$ — целые неотрицательные числа, а $k$ — наименьшее из них. Докажите, что \[ [\sqrt{a_1}\,]+[\sqrt{a_2}\,]+\ldots+[\sqrt{a_{25}}\,]\geqslant\left[\sqrt{a_1+\ldots+a_{25}+200k}\,\right]. \] (Как обычно, через $[x]$ обозначается целая часть числа $x$, то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)
Ответ:
Решение:
Числа $x$, $y$ и $z$ удовлетворяют условию $x^2+y^2+z^2=1$. Докажите, что \[(x-y)(y-z)(x-z)\leqslant\frac{1}{\sqrt{2}}.\]
Ответ:
Решение:
Даны числа $a$, $b$, $c$, не меньшие 1. Докажите, что \[ \frac{a+b+c}{4}\geqslant\frac{\sqrt{ab-1}}{b+c}+\frac{\sqrt{bc-1}}{c+a}+\frac{\sqrt{ca-1}}{a+b}. \]
Ответ:
Решение:
Докажите, что для любых положительных $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_9$ верно неравенство \[\frac{x_1-x_3}{x_1x_3+2x_2x_3+x_2^2}+\frac{x_2-x_4}{x_2x_4+2x_3x_4+x_3^2}+\ldots+\frac{x_8-x_1}{x_8x_1+2x_9x_1+x_9^2}+\frac{x_9-x_2}{x_9x_2+2x_1x_2+x_1^2}\geqslant0.\]
Ответ:
Решение:
Даны неотрицательные числа $a$, $b$, $c$, $d$ такие, что $a+b+c+d=8$. Докажите, что \[ \frac{a^3}{a^2+b+c}+\frac{b^3}{b^2+c+d}+\frac{c^3}{c^2+d+a}+\frac{d^3}{d^2+a+b}\geqslant4. \]
Ответ:
Решение:
Докажите, что для любых трех положительных вещественных чисел $x$, $y$, $z$ выполнено неравенство \[ (x-y)\sqrt{3x^2+y^2}+(y-z)\sqrt{3y^2+z^2}+(z-x)\sqrt{3z^2+x^2}\geqslant0. \]
Ответ:
Решение:
Даны ненулевые числа $a$, $b$, $c$. Докажите, что выполняется неравенство \[ \left|\frac{b}{a}-\frac{b}{c}\right|+\left|\frac{c}{a}-\frac{c}{b}\right|+|bc+1|\gt 1. \]
Ответ:
Решение:
Пусть $a$, $b$, $c$ — положительные числа, причём $a+b+c=3$. Докажите, что \[ \frac{a}{b^4+2b}+\frac{b}{c^4+2c}+\frac{c}{a^4+2a}\geqslant1. \]
Ответ:
Решение:
Числа $a$, $b$ и $c$ больше единицы и удовлетворяют равенству \[ \left(a-\frac{1}{b}\right)\left(b-\frac{1}{c}\right)\left(c-\frac{1}{a}\right)=1. \] Докажите, что \[ \left(a-\frac{1}{a}\right)^2+\left(b-\frac{1}{b}\right)^2+\left(c-\frac{1}{c}\right)^2\geqslant\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}. \]
Ответ:
Решение:
По кругу написаны 2015 положительных чисел. Сумма любых двух рядом стоящих чисел больше суммы обратных к двум следующим за ними по часовой стрелке. Докажите, что произведение всех этих чисел больше 1.
Ответ:
Решение:
Сумма неотрицательных чисел $a$, $b$, $c$ и $d$ равна 4. Докажите, что \[(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)\leqslant8.\]
Ответ:
Решение:
Положительные числа $a$, $b$, $c$ и $d$ не превосходят единицы. Докажите неравенство \[ \frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}\geqslant\frac{1}{4}+(1-a)(1-b)(1-c)(1-d). \]
Ответ:
Решение:
Неотрицательные числа $a$, $b$ и $c$ таковы, что $a^2+b^2+c^2=a+b+c$. Докажите, что \[\dfrac{(a-1)^2}{b+c+1}+\dfrac{(b-1)^2}{c+a+1}+\dfrac{(c-1)^2}{a+b+1}\leqslant\dfrac{3}{1+a+b+c}.\]
Ответ:
Решение:
Числа $x$, $y$, $z$ таковы, что $x\in[-3,7]$, $y\in[-2,5]$, $z\in[-5,3]$.
1. Найдите наименьшее возможное значение величины $x^2+y^2$.
2. Найдите наименьшее возможное значение величины $xyz-z^2$.
1. Найдите наименьшее возможное значение величины $x^2+y^2$.
2. Найдите наименьшее возможное значение величины $xyz-z^2$.
Ответ:
Решение:
Каждое из натуральных чисел $a$, $b$, $c$, $d$ не превосходит 6. Найдите наибольшее возможное значение выражения \[a+\dfrac{1}{b+\frac{1}{c+\frac{1}{d}}}.\]
Ответ:
Решение:
Числа $a_1, a_2, \ldots, a_9$ таковы, что \[\frac{a_1^2+a_2^2+\ldots+a_9^2}{a_1+a_2+\ldots+a_9}=48.\] Какое наибольшее значение может принимать $a_1$?
Ответ:
Решение:
В компьютерной игре у персонажа четыре характеристики: сила, ловкость, интеллект и харизма. Изначально каждая характеристика равна 10, и у игрока есть ещё 25 очков, которые он должен полностью распределить между характеристиками (одно очко — одна единица характеристики). Эффективность персонажа вычисляется по формуле:
сила $\times$ ловкость $+$ ловкость $\times$ интеллект $+$ интеллект $\times$ харизма $+$ харизма $\times$ сила.
а) Найдите наименьшую возможную эффективность персонажа.
б) Найдите наибольшую возможную эффективность персонажа.
сила $\times$ ловкость $+$ ловкость $\times$ интеллект $+$ интеллект $\times$ харизма $+$ харизма $\times$ сила.
а) Найдите наименьшую возможную эффективность персонажа.
б) Найдите наибольшую возможную эффективность персонажа.
Ответ:
Решение:
Неотрицательные числа $a$, $b$, $c$ в сумме дают 1. Найдите наибольшее возможное значение величины \[(a+3b+5c)\cdot\left(a+\dfrac{b}{3}+\dfrac{c}{5}\right).\]
Ответ:
Решение:
Действительные числа $a$, $b$, $c$ таковы, что \[\begin{cases} a^2+ab+b^2=11,\\ b^2+bc+c^2=11. \end{cases}\]
1. Какое наименьшее значение может принимать выражение $c^2+ca+a^2$?
2. Какое наибольшее значение может принимать выражение $c^2+ca+a^2$?
1. Какое наименьшее значение может принимать выражение $c^2+ca+a^2$?
2. Какое наибольшее значение может принимать выражение $c^2+ca+a^2$?
Ответ:
Решение: