В равнобедренном треугольнике $ABC$ провели биссектрису $BP$. Докажите, что если угол $BAC$ равен $100^\circ$, то $AP+PB=BC$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ точки $P$ и $Q$ — середины биссектрис, проведённых из вершин $A$ и $B$. Вписанная в треугольник окружность касается гипотенузы в точке $H$. Найдите угол $PHQ$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ со стороной $AC=1$ провели высоту $BH$, в треугольнике $BHC$ — биссектрису $CL$, в треугольнике $BLC$ — медиану $BM$. Прямая $AL$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$, причём $\angle BHK=\angle MHC=15^\circ$. Найдите площадь четырёхугольника $KLHM$.
Ответ:
Решение:
Прямая, проходящая через точки, симметричные основанию высоты $AD$ остроугольного треугольника $ABC$ относительно сторон $AC$ и $AB$, пересекает эти стороны в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите расстояние от точки $B$ до точки пересечения отрезков $BE$ и $CF$, если $AC=b$ и $\angle ABC=\beta$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$, $\angle A=2\alpha$, биссектрисы $BD$ и $CE$ пересекаются в точке $I$. Найдите наименьший возможный радиус окружности, описанной около треугольника $DEI$, если сумма длин отрезков $DI$ и $EI$ равна $2d$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $LOM$ обозначили точку пересечения высот через $H$, центр описанной окружности через $Q$. Площади треугольников $LQH$ и $OQH$ равны 5 и 3 соответственно. Найдите площадь треугольника $MQH$.
Ответ:
Решение:
Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ — точки пересечения продолжений высот остроугольного треугольника $ABC$ с описанной вокруг $ABC$ окружностью. Окружность, вписанная в треугольник $A_1B_1C_1$, касается одной из сторон $ABC$, а один из углов треугольника $ABC$ равен $40^\circ$. Найдите два других угла треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Стороны $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ касаются соответствующих вневписанных окружностей в точках $A_1$, $B_1$. Пусть $A_2$, $B_2$ — ортоцентры треугольников $CAA_1$ и $CBB_1$. Докажите, что прямая $A_2B_2$ перпендикулярна биссектрисе угла $C$.
Ответ:
Решение:
В неравнобедренном треугольнике две медианы равны двум высотам. Найдите отношение третьей медианы к третьей высоте.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$. Проведены высота $AH$ и медиана $CM$. Обозначим точку их пересечения через $P$. Высота, проведённая из вершины $B$ треугольника, пересекается с перпендикуляром, опущенным из точки $H$ на прямую $CM$, в точке $Q$. Докажите, что прямые $CQ$ и $BP$ перпендикулярны.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$. Окружность, описанная вокруг треугольника $A_1BC_1$, проходит через точку $M$ пересечения медиан. Найдите все возможные значения величины угла $B$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA'$ и $BB'$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Докажите, что расстояние от точки $A'$ до прямой $BO$ равно расстоянию от точки $B'$ до прямой $AO$.
Ответ:
Решение:
Внутри четырёхугольника $ABCD$ взяли точку $P$. Прямые $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $X$. Оказалось, что прямая $XP$ является внешней биссектрисой углов $APD$ и $BPC$. Пусть $PY$ и $PZ$ — биссектрисы треугольников $APB$ и $DPC$. Докажите, что точки $X$, $Y$ и $Z$ лежат на одной прямой.
Ответ:
Решение:
От прямой линии, проходящей через точки пересечения медиан и биссектрис тупоугольного треугольника, двумя его сторонами отсекается отрезок длиной на 1 см меньше, чем одна из длин сторон данного треугольника. Найдите наименьшую из возможных длин сторон этого треугольника, если их длины выражаются натуральными числами (в см) и образуют арифметическую прогрессию.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $L$ — точка пересечения отрезков $B_1C_1$ и $AA_1$, $K$ — точка пересечения отрезков $B_1A_1$ и $CC_1$, $M$ — точка пересечения $BK$ и $AA_1$, $N$ — точка пересечения $BL$ и $CC_1$. Найдите отношение $MS:SN$, если $S$ — точка пересечения биссектрисы $BB_1$ с отрезком $MN$, и $AB:BC:AC=2:3:4$.
Ответ:
Решение:
Последовательность величин углов при вершинах $A$, $B$, $C$ в остроугольном треугольнике $ABC$ образует в данном порядке возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть $D$, $E$ — точки пересечения его высот и биссектрис, соответственно. Величины углов при вершинах в треугольнике $BDE$ образует в некотором порядке возрастающую арифметическую прогрессию. Найдите градусную величину угла $A$ в треугольнике $ABC$.
Ответ:
Решение:
Последовательность величин сторон в остроугольном треугольнике образует арифметическую прогрессию. Пусть $M$, $I$ — точки пересечения его медиан и биссектрис, соответственно. Найдите косинус его большего угла, если длина отрезка $MI$ в 10 раз меньше одной из сторон данного треугольника.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ с углом $A$, равным $45^\circ$, проведена медиана $AM$. Прямая $b$ симметрична прямой $AM$ относительно высоты $BB_1$, а прямая $c$ симметрична прямой $AM$ относительно высоты $CC_1$. Прямые $b$ и $c$ пересеклись в точке $X$. Докажите, что $AX=BC$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AH_A$, $BH_B$ и $CH_C$ пересекаются в точке $H$. Через точки, в которых окружность радиуса $HH_A$ с центром $H$ пересекает отрезки $BH$ и $CH$, проведена прямая $\ell_A$. Аналогично проведены прямые $\ell_B$ и $\ell_C$. Докажите, что точка пересечения высот треугольника, образованного прямыми $\ell_A$, $\ell_B$, $\ell_C$, совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник $ABC$.
Ответ:
Решение:
Высоты $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Биссектриса угла $CBH$ пересекает отрезок $CH$ в точке $X$, биссектриса угла $BCH$ пересекает отрезок $BH$ в точке $Y$. Обозначим величину угла $XA_1Y$ через $\alpha$. Аналогично определим $\beta$ и $\gamma$. Найдите значение суммы $\alpha+\beta+\gamma$.
Ответ:
Решение: