В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AD$, $BE$ и $CF$ пересекаются в точке $H$. Три окружности с центрами в точках $D$, $E$, $F$, проходящие через $H$, пересекают прямые $BC$, $CA$ и $AB$ соответственно в шести различных точках. Докажите, что эти шесть точек можно разбить на две тройки так, чтобы для двух треугольников, образованных этими тройками точек, нашлась окружность, касающаяся всех шести прямых, содержащих стороны этих треугольников.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ медиана, выходящая из вершины $A$, перпендикулярна биссектрисе угла $B$, а медиана, выходящая из вершины $B$, перпендикулярна биссектрисе угла $A$. Известно, что сторона $AB=1$. Найдите периметр треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $134^\circ$, а высота, опущенная из вершины $A$, в два раза меньше биссектрисы угла $A$. Найдите угол $C$. Ответ выразите в градусах.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ провели медиану $AM$. Найдите угол $AMC$, если углы $BAC$ и $BCA$ равны $45^\circ$ и $30^\circ$ соответственно.
Ответ:
Решение:
Высота $CH$, опущенная из вершины прямого угла треугольника $ABC$, делит биссектрису $BL$ этого треугольника пополам. Найдите угол $BAC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$. Точки $E$ и $D$ отмечены на отрезках $AB$ и $BL$ соответственно так, что $DL=LC$, $ED\parallel AC$. Найдите длину отрезка $ED$, если известно, что $AE=15$, $AC=12$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ провели высоту $CH$. На гипотенузе отметили точки $X$ и $Y$, такие что $CX$ и $CY$ — биссектрисы углов $BCH$ и $HCA$ соответственно. Найдите, чему равна длина стороны $AB$, если известно, что периметр треугольника $ABC$ равен 44, а длина отрезка $XY$ равна 6.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$. Известно, что $\angle ABM=40^\circ$, а $\angle CBM=70^\circ$. Найдите отношение $AB:BM$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина $AC$, кроме того, \[BC=2AC/3\quad\text{и}\quad \angle BMC=2\angle ABM.\] Найдите отношение $AM/AB$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ взята точка $K$. $KM$ и $KP$ — это биссектрисы треугольников $AKB$ и $AKC$ соответственно. Оказалось, что диагональ $MK$ делит четырёхугольник $BMPK$ на два равных треугольника. Докажите, что $M$ — середина $AB$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $BD$, а в треугольниках $ABD$ и $CBD$ — биссектрисы $DE$ и $DF$ соответственно. Оказалось, что $EF\parallel AC$. Найдите угол $DEF$.
Ответ:
Решение:
Боря нарисовал девять отрезков, три из которых равны трём высотам треугольника $ABC$, три — трём биссектрисам, три — трём медианам. Оказалось, что для любого из нарисованных отрезков среди остальных восьми найдётся равный ему. Докажите, что треугольник $ABC$ — равнобедренный.
Ответ:
Решение:
Вершина $C$ равнобедренной трапеции $ABCD$ ($AD\parallel BC$) лежит на основании $AE$ прямоугольного равнобедренного треугольника $ADE$. Докажите, что прямая $CD$ перпендикулярна прямой $BE$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ — середины сторон $AC$ и $BC$ соответственно. Известно, что точка пересечения медиан треугольника $AMN$ является точкой пересечения высот треугольника $ABC$. Найдите угол $ABC$.
Ответ:
Решение:
В треугольник $ABC$ вписана окружность с центром $O$. На стороне $AB$ выбрана точка $P$, а на продолжении стороны $AC$ за точку $C$ — точка $Q$ так, что отрезок $PQ$ касается окружности. Докажите, что $\angle BOP=\angle COQ$.
Ответ:
Решение:
Внутри треугольника $ABC$ отмечена точка $P$. Биссектрисы углов $BAC$ и $ACP$ пересекаются в точке $M$, а биссектриса угла $PBA$ и прямая, содержащая биссектрису угла $BPC$, пересекаются в точке $N$. Докажите, что точка пересечения прямых $CP$ и $AB$ лежит на прямой $MN$.
Ответ:
Решение:
$AH$ — высота равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=BC$). $HK$ — высота треугольника $AHB$. Оказалось, что $4HK=AB$. Чему могла быть равна градусная мера угла $ABC$? Принимаются только ответы, данные в виде целых чисел или десятичных дробей.
Ответ:
Решение:
Высоты неравнобедренного остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. $O$ — центр описанной окружности треугольника $BHC$. Центр $I$ вписанной окружности треугольника $ABC$ лежит на отрезке $OA$. Найдите угол $BAC$.
Ответ:
Решение:
Внутри параллелограмма $ABCD$ выбрана точка $E$ так, что $AE=DE$ и $\angle ABE=90^\circ$. Точка $M$ — середина отрезка $BC$. Найдите угол $DME$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ построена точка $D$, симметричная центру $I$ вписанной окружности относительно центра $O$ описанной окружности. Докажите, что $AD^2=4R^2-AB\cdot AC$, где $R$ — радиус описанной окружности треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение: