На сторонах выпуклого четырёхугольника $ABCD$ во внешнюю сторону построены прямоугольники. Оказалось, что все вершины этих прямоугольников, отличные от точек $A$, $B$, $C$, $D$, лежат на одной окружности. Докажите, что четырехугольник $ABCD$ — вписанный.
Ответ:
Решение:
Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, $BC=CD$, $AC=c$, $\angle BAD=2\alpha$. Найдите площадь этого четырёхугольника.
Ответ:
Решение:
Четырехугольник $ABCD$ — вписанный. На его диагоналях $AC$ и $BD$ отметили точки $K$ и $L$ соответственно так, что $AK=AB$ и $DL=DC$. Докажите, что прямые $KL$ и $AD$ параллельны.
Ответ:
Решение:
Дан параллелограмм $ABCD$, точка $M$ — середина стороны $BC$. На стороне $AD$ нашлась точка $K$ такая, что $BK=BM$ и четырёхугольник $KBMD$ является вписанным.
1. Чему равна длина отрезка $MD$, если $AD=17$?
2. Сколько градусов составляет угол $KMD$, если $\angle BAD=46^\circ$?
1. Чему равна длина отрезка $MD$, если $AD=17$?
2. Сколько градусов составляет угол $KMD$, если $\angle BAD=46^\circ$?
Ответ:
Решение:
Во вписанном четырёхугольнике $ABCD$ отметили точку $E$ — пересечение лучей $AD$ и $BC$ и точку $F$ — пересечение лучей $AB$ и $DC$. Оказалось, что $CD=DE$, $\angle AEB=51^\circ$ и угловые меры дуг $BC$ и $AD$ находятся в соотношении $2:5$.
1. Найдите угол $AFD$. Ответ выразите в градусах.
2. Найдите величину меньшей дуги $BC$. Ответ выразите в градусах.
1. Найдите угол $AFD$. Ответ выразите в градусах.
2. Найдите величину меньшей дуги $BC$. Ответ выразите в градусах.
Ответ:
Решение:
В описанном четырехугольнике $ABCD$ оказалось, что $\angle ABC=\angle ACD=90^\circ$. Известно, что $AB=5$, $BC=3$. Найдите, чему равно $CD$.
Ответ:
Решение:
В окружность вписана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. Известно, что $\angle BAC=28^\circ$ и $\angle ACD=74^\circ$. Сколько градусов составляет $\angle ABC$?
Ответ:
Решение:
На плоскости даны две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$, касающиеся внешним образом. На окружности $\omega_1$ выбран диаметр $AB$, а на окружности $\omega_2$ выбран диаметр $CD$. Рассмотрим всевозможные положения точек $A$, $B$, $C$ и $D$, при которых $ABCD$ — выпуклый описанный четырёхугольник, и пусть $I$ — центр его вписанной окружности. Найдите геометрическое место точек $I$.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB=3$, $BC=4$, $CD=6$ и $AD=2$ вписан в окружность. Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$, а прямые $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $F$. Биссектриса угла $CFD$ пересекает стороны $AB$ и $CD$ в точках $K$ и $L$ соответственно, а биссектриса угла $BEC$ пересекает стороны $AD$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF$ и площадь четырёхугольника $KMLN$.
Ответ:
Решение:
Дан описанный четырёхугольник $ABCD$ с тупым углом $ABC$. Лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $P$, а лучи $DA$ и $CB$ — в точке $Q$. Докажите, что $|AD-CD|\geqslant|r_1-r_2|$, где $r_1$ и $r_2$ — радиусы вписанных окружностей треугольников $PBC$ и $QAB$.
Ответ:
Решение:
Через каждую вершину четырёхугольника проведена прямая, проходящая через центр вписанной в него окружности. Три из этих прямых обладают тем свойством, что каждая из них делит площадь четырёхугольника на две равновеликие части.
а) Докажите, что и четвёртая прямая обладает тем же свойством.
б) Какие значения могут принимать углы этого четырёхугольника, если один из них равен $72^\circ$?
а) Докажите, что и четвёртая прямая обладает тем же свойством.
б) Какие значения могут принимать углы этого четырёхугольника, если один из них равен $72^\circ$?
Ответ:
Решение:
Среди всех вписанных четырёхугольников найдите четырёхугольник $ABCD$ с наименьшим периметром, в котором $AB=BC=CD$ и все попарные расстояния между точками $A$, $B$, $C$ и $D$ выражаются целыми числами. Чему при этом равен радиус описанной вокруг $ABCD$ окружности?
Ответ:
Решение:
Среди всех вписанных четырёхугольников найдите четырёхугольник $ABCD$ с наименьшим периметром, в котором $BC=CD=AD$ и все попарные расстояния между точками $A$, $B$, $C$ и $D$ выражаются целыми числами. Чему равна площадь этого четырёхугольника?
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ известно, что $\angle CAD=\angle CDB$ и $\angle BAD=\angle CDA=60^\circ$.
1. Можно ли в четырехугольник $ABCD$ вписать окружность?
2. Найдите минимум отношения стороны $BC$ к стороне $AD$.
1. Можно ли в четырехугольник $ABCD$ вписать окружность?
2. Найдите минимум отношения стороны $BC$ к стороне $AD$.
Ответ:
Решение:
Три стороны выпуклого четырехугольника имеют длины $2$, $4$ и $5$. Известно, что существует круг, пересекающий все стороны четырехугольника по хордам, имеющим одинаковые длины. Найти наибольшее возможное значение длины четвертой стороны.
Ответ:
Решение:
Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность и его диагонали пересекаются в точке $P$. Точки $K$, $L$ и $M$ — середины сторон $AB$, $BC$ и $CD$ соответственно. Радиус окружности, описанной около треугольника $KLP$, равен 1. Найти радиус окружности, описанной около треугольника $LMP$.
Ответ:
Решение:
Около выпуклого четырехугольника $ABCD$, диагонали которого перпендикулярны и по длине равны 5 и 6, можно описать окружность с центром в точке $O$. Найти площадь четырехугольника $ABCO$.
Ответ:
Решение:
Продолжение сторон $BC$ (за точку $C$) и $AD$ (за точку $D$) вписанного в окружность четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Центр $O$ окружности, вписанной в треугольник $ABE$, лежит на отрезке $CD$. Найдите наибольшее возможное значение суммы $ED+DO$, если известно, что $BE=12$.
Ответ:
Решение:
В окружность вписан четырёхугольник $KLMN$ с диагоналями $KM$ и $LN$, которые пересекаются в точке $T$. Основания перпендикуляров, опущенных из точки $T$ на стороны четырёхугольника, лежат на этих сторонах. Расстояния от точки $T$ до сторон $KL$, $LM$, $MN$, $NK$ равны $4\sqrt2$, $\sqrt2$, $\frac{8}{\sqrt{17}}$ и $\frac{8}{\sqrt{17}}$ соответственно.
а) Найдите отношение $KT:TM$.
б) Найдите длину диагонали $LN$, если дополнительно известно, что $KM=10$.
а) Найдите отношение $KT:TM$.
б) Найдите длину диагонали $LN$, если дополнительно известно, что $KM=10$.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность радиуса $7$. Лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $P$, а лучи $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $Q$. Известно, что треугольники $ADP$ и $QAB$ подобны (вершины не обязательно указаны в соответствующем порядке).
а) Найдите $AC$.
б) Пусть дополнительно известно, что окружности, вписанные в треугольники $ABC$ и $ACD$, касаются отрезка $AC$ в точках $K$ и $T$ соответственно, причём $CK:KT:TA=6:1:7$ (точка $T$ лежит между $K$ и $A$). Найдите $\angle DAC$ и площадь четырёхугольника $ABCD$.
а) Найдите $AC$.
б) Пусть дополнительно известно, что окружности, вписанные в треугольники $ABC$ и $ACD$, касаются отрезка $AC$ в точках $K$ и $T$ соответственно, причём $CK:KT:TA=6:1:7$ (точка $T$ лежит между $K$ и $A$). Найдите $\angle DAC$ и площадь четырёхугольника $ABCD$.
Ответ:
Решение: