В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120^\circ$, $AB=2BC$. Серединный перпендикуляр к стороне $AB$ пересекает $AC$ в точке $D$. Найдите отношение $AD:DC$.
Ответ:
Решение:
Вершину $A$ параллелограмма $ABCD$ соединили отрезками с серединами сторон $BC$ и $CD$. Один из этих отрезков оказался вдвое длиннее другого. Определите, каким является угол $BAD$: острым, прямым или тупым.
Ответ:
Решение:
Через вершину $A$ прямоугольника $ABCD$ проведена прямая $\ell$, как изображено на рисунке. Из точек $B$ и $D$ опущены перпендикуляры $BX$ и $DY$ на прямую $\ell$. Найдите длину отрезка $XY$, если известно, что $BX=4$, $DY=10$, $BC=2AB$.
Ответ:
Решение:
Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$, $X$ — середина диагонали $AC$. Оказалось, что $CD\parallel BX$. Найдите $AD$, если известно, что $BX=3$, $BC=7$, $CD=6$.
Ответ:
Решение:
Точки $M$ и $N$ — середины биссектрис $AK$ и $CL$ треугольника $ABC$ соответственно. Докажите, что угол $ABC$ прямой тогда и только тогда, когда $\angle MBN=45^\circ$.
Ответ:
Решение:
Высоты остроугольного треугольника $ABC$, в котором $AB\lt AC$, пересекаются в точке $H$, а $O$ — центр описанной около него окружности $\Omega$. Отрезок $OH$ пересекает описанную около треугольника $BHC$ окружность в точке $X$, отличной от $O$ и $H$. Окружность, описанная около треугольника $AOX$, пересекает меньшую дугу $AB$ окружности $\Omega$ в точке $Y$. Докажите, что прямая $XY$ делит отрезок $BC$ пополам.
Ответ:
Решение:
Биссектрисы треугольника $ABC$ пересекаются в точке $I$, внешние биссектрисы его углов $B$ и $C$ пересекаются в точке $J$. Окружность $\omega_b$ с центром в точке $O_b$ проходит через точку $B$ и касается прямой $CI$ в точке $I$. Окружность $\omega_c$ с центром в точке $O_c$ проходит через точку $C$ и касается прямой $BI$ в точке $I$. Отрезки $O_bO_c$ и $IJ$ пересекаются в точке $K$. Найдите отношение $IK/KJ$.
Ответ:
Решение:
Внутри неравнобедренного остроугольного треугольника $ABC$, в котором $\angle ABC=60^\circ$, отмечена точка $T$ так, что $\angle ATB=\angle BTC=\angle ATC=120^\circ$. Медианы треугольника пересекаются в точке $M$. Прямая $TM$ пересекает вторично окружность, описанную около треугольника $ATC$, в точке $K$. Найдите $TM/MK$.
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $A$ и $C$ равны. На сторонах $AB$ и $BC$ нашлись соответственно точки $M$ и $N$ такие, что $MN\parallel AD$ и $MN=2AD$. Пусть $K$ — середина отрезка $MN$, а $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$. Докажите, что прямые $KH$ и $CD$ перпендикулярны.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ точка $K$ — середина биссектрисы $BL$. Известно, что $AK=AL$ и $AK\perp BC$. Найдите величину угла $ABC$.
Ответ:
Решение:
Сторона $BC$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ видна из середины $M$ его стороны $AD$ под углом $90^\circ$. Биссектрисы треугольника $BMC$ пересекаются в точке $I$. Известно, что \[\angle ABM=\angle MIC \quad\text{и}\quad \angle BIM=\angle MCD.\] Докажите, что $AI=DI$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $BK$ и $CL$. На отрезке $BK$ отмечена точка $N$ так, что $LN\parallel AC$. Оказалось, что $NK=LN$. Найдите величину угла $ABC$.
Ответ:
Решение:
Точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно треугольника $ABC$. На продолжении отрезка $CM$ за точку $M$ отмечена точка $D$. Оказалось, что $BC=BD=2$ и $AN=3$. Докажите, что $\angle ADC=90^\circ$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ точка $M$ — середина основания $AD$. Известно, что $\angle ABD=90^\circ$ и $BC=CD$. На отрезке $BD$ выбрана точка $F$ такая, что $\angle BCF=90^\circ$. Докажите, что $MF\perp CD$.
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ выбраны точки $P$ и $Q$ так, что $BP=PQ=QC$. Точки $X$ и $Y$ выбраны соответственно на отрезках $AC$ и $AB$ так, что $PX\perp AC$ и $QY\perp AB$. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника $ABC$ равноудалена от прямых $XQ$ и $YP$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ построена точка $D$, симметричная центру $I$ вписанной окружности относительно центра $O$ описанной окружности. Докажите, что $AD^2=4R^2-AB\cdot AC$, где $R$ — радиус описанной окружности треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Внутри параллелограмма $ABCD$ выбрана точка $E$ так, что $AE=DE$ и $\angle ABE=90^\circ$. Точка $M$ — середина отрезка $BC$. Найдите угол $DME$.
Ответ:
Решение:
Высоты неравнобедренного остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. $O$ — центр описанной окружности треугольника $BHC$. Центр $I$ вписанной окружности треугольника $ABC$ лежит на отрезке $OA$. Найдите угол $BAC$.
Ответ:
Решение:
$AH$ — высота равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=BC$). $HK$ — высота треугольника $AHB$. Оказалось, что $4HK=AB$. Чему могла быть равна градусная мера угла $ABC$? Принимаются только ответы, данные в виде целых чисел или десятичных дробей.
Ответ:
Решение: