Во вписанном четырёхугольнике $ABCD$ отметили точку $E$ — пересечение лучей $AD$ и $BC$ и точку $F$ — пересечение лучей $AB$ и $DC$. Оказалось, что $CD=DE$, $\angle AEB=51^\circ$ и угловые меры дуг $BC$ и $AD$ находятся в соотношении $2:5$.
1. Найдите угол $AFD$. Ответ выразите в градусах.
2. Найдите величину меньшей дуги $BC$. Ответ выразите в градусах.
1. Найдите угол $AFD$. Ответ выразите в градусах.
2. Найдите величину меньшей дуги $BC$. Ответ выразите в градусах.
Ответ:
Решение:
В описанном четырехугольнике $ABCD$ оказалось, что $\angle ABC=\angle ACD=90^\circ$. Известно, что $AB=5$, $BC=3$. Найдите, чему равно $CD$.
Ответ:
Решение:
В окружность вписана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. Известно, что $\angle BAC=28^\circ$ и $\angle ACD=74^\circ$. Сколько градусов составляет $\angle ABC$?
Ответ:
Решение:
На биссектрисе угла $ABC$ отмечена точка $D$. На отрезке $AB$ отмечена точка $E$, а на отрезке $BC$ — точка $F$, причём $AB=DE$ и $BC=DF$. Докажите, что из отрезков $AD$, $CD$ и $EF$ можно сложить треугольник.
Ответ:
Решение:
Выпуклый пятиугольник $ABCDE$ таков, что \[ \angle ACB=\angle CBD=\angle DCE=\angle BDC=30^\circ, \] \[ AB+BC+CD+DE=AD+BE. \] Чему может быть равен угол $A$ этого пятиугольника?
Ответ:
Решение:
Точка $E$ — середина диагонали $BD$ трапеции $ABCD$. На основании $AD$ отмечена такая точка $F$, что $\angle AFE=\angle BAD$. Точка $K$ симметрична точке $B$ относительно $F$. Докажите, что $AC+CE\geqslant EK$.
Ответ:
Решение:
Точка $N$ — середина стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$, а точка $M$ на стороне $AB$ такова, что $CM\perp BD$. Докажите, что если $BM\gt MA$, то $2BC+AD\gt 2CN$.
Ответ:
Решение:
Периметр треугольника $ABC$ равен 2. На стороне $AC$ отмечена точка $P$, а на отрезке $CP$ — точка $Q$ так, что $2AP=AB$ и $2QC=BC$. Докажите, что периметр треугольника $BPQ$ больше 1.
Ответ:
Решение:
Диагонали выпуклого четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Известно, что $AB=BC=CD=DE=1$. Докажите, что $AD\lt 2$.
Ответ:
Решение:
Высоты $BD$ и $CE$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$, высоты треугольника $ADE$ пересекаются в точке $F$, точка $M$ — середина стороны $BC$. Докажите, что $BH+CH\geqslant 2FM$.
Ответ:
Решение:
Диагонали выпуклого четырехугольника $ABCD$ перпендикулярны и пересекаются в точке $O$. Центры вписанных окружностей треугольников $ABC$, $BCD$, $CDA$, $DAB$ являются вершинами выпуклого четырехугольника, периметр которого равен $P$. Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей треугольников $AOB$, $BOC$, $COD$, $DOA$ не превосходит $\dfrac{P}{2}$.
Ответ:
Решение:
Точка $X$ лежит строго внутри описанной около треугольника $ABC$ окружности. Обозначим через $I_B$ и $I_C$ центры вневписанных окружностей этого треугольника, касающихся сторон $AC$ и $AB$ соответственно. Докажите, что $XI_B\cdot XI_C\gt XB\cdot XC$.
Ответ:
Решение:
На прямой отмечено $n+1$ различных отрезков; одна из точек прямой принадлежит всем этим отрезкам. Докажите, что среди отмеченных отрезков можно выбрать различные отрезки $I$ и $J$, пересекающиеся по отрезку длины, не меньшей $\frac{n-1}{n}\,d$, где $d$ — длина отрезка $I$.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$, в котором $\angle A=\angle C=30^\circ$. На его сторонах $AB$, $BC$ и $AC$ выбраны точки $D$, $E$ и $F$ соответственно так, что $\angle BFD=\angle BFE=60^\circ$. Периметр треугольника $ABC$ равен $p$, а периметр треугольника $DEF$ равен $p_1$. Докажите, что $p\leqslant 2p_1$.
Ответ:
Решение:
Периметр выпуклого пятиугольника $ABCDE$ равен 2. Пусть $O_a$, $O_b$, $O_c$, $O_d$, $O_e$ — центры описанных окружностей треугольников $EAB$, $ABC$, $BCD$, $CDE$, $DEA$ соответственно. Пусть $M_a$, $M_b$, $M_c$, $M_d$, $M_e$ — середины отрезков $AO_a$, $BO_b$, $CO_c$, $DO_d$, $EO_e$ соответственно. Докажите, что \[ M_aM_b+M_bM_c+M_cM_d+M_dM_e+M_eM_a\geqslant 1. \]
Ответ:
Решение:
Назовем два числа почти равными, если они равны или отличаются друг от друга не более, чем на единицу. Верно ли, что из любого прямоугольника с натуральными сторонами можно вырезать какой-нибудь прямоугольник с натуральными сторонами, площадь которого почти равна половине площади исходного прямоугольника? Стороны вырезаемого прямоугольника не обязательно параллельны сторонам исходного прямоугольника.
Ответ:
Решение:
Радиусы пяти концентрических окружностей $\omega_0$, $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$, $\omega_4$ образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию со знаменателем $q$. При каком наибольшем $q$ можно нарисовать незамкнутую ломаную $A_0A_1A_2A_3A_4$, состоящую из четырёх отрезков равной длины, в которой $A_i$ лежит на $\omega_i$ при всех $i=0$, 1, 2, 3, 4?
Ответ:
Решение:
Два бегуна бегают с равными постоянными скоростями по диагоналям $AC$ и $BD$ соответственно квадрата $ABCD$. Добежав до конца диагонали, бегун сразу поворачивает обратно. Стартовали они одновременно из двух случайно выбранных точек своих диагоналей. Докажите, что найдётся момент, когда расстояние между бегунами будет строго меньше половины диагонали квадрата.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$, у которого угол $B$ меньше 120 градусов, медиана $BD$ короче половины стороны $AB$. Докажите, что эта медиана длиннее половины стороны $BC$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ угол при вершине $A$ равен 45 градусам. Докажите, что периметр этого треугольника меньше удвоенной суммы его высот, опущенных из вершин $B$ и $C$.
Ответ:
Решение: